где 
в левой части — значения f на 
в точках, соответствующих указанным значениям t. По условию f и 
непрерывны вплоть до S, и тем самым подынтегральная функция в правой части — равномерно непрерывная функция параметра 
. Переходя в последней формуле к пределу при 
получим
где слева стоят значения f на 
Дифференцируя обе части по t, получим формулу (11). Доказанной леммой нам придется пользоваться не только в этом параграфе, но и в следующей главе.
Переходим к случаю любого числа переменных и положим теперь, что некоторая функция 
непрерывна при переходе через поверхность 
а ее частные производные первого порядка имеют с каждой стороны этой поверхности определенные пределы, но эти пределы различны на различных сторонах поверхности, т. е., короче говоря, производные первого порядка функции f имеют на поверхности (12) разрывы первого рода. Мы назовем две стороны поверхности положительной и отрицательной сторонами. Для обозначения пределов, получаемых на положительной стороне, мы будем приписывать к соответствующей величине знак 
а для отрицательной стороны знак (—). Так, например, условие непрерывности f при переходе через S мы можем записать в виде 
Введем в рассмотрение скачок для производных первого порядка:
Вдоль всякой линии 
лежащей на поверхности (12), по условию 
совпадают. Таким образом, применяя лемму, получим
На поверхности S переменные 
нельзя считать независимыми. Если, например, уравнение поверхности задано в явной форме, то одна из координат будет функцией остальных, а эти последние можно уже считать независимыми переменными.
Предыдущую формулу мы можем переписать в виде
Мы имеем, кроме того,
Умножим последнее равенство на неопределенный пока множитель h и вычтем из предыдущего:
Определим теперь множитель h так, чтобы коэффициент при дифференциале зависимого переменного обращался в нуль. Оставшиеся коэффициенты при дифференциалах независимых переменных, очевидно, должны быть равны нулю [I; 167], и мы приходим, таким образом, к следующим 
равенствам:
т. е. скачки производных первого порядка должны быть пропорциональны частным производным от левой части (12) по соответствующим переменным. Написанные условия называются обычно кинематическими условиями совместности.
Рассмотрим теперь тот случай, когда сама функция 
и ее производные первого порядка остаются непрерывными при переходе через поверхность (12), а разрыв непрерывности испытывают производные второго порядка. Наше предыдущее рассуждение применимо тогда для каждой из функций 
Каждая такая функция будет иметь свой коэффициент пропорциональности 
в кинематических условиях совместности, и скачок производной от функции f по всякой переменной 
должен быть пропорционален т. е. мы будем иметь следующие равенства для скачков производных второго порядка:
Принимая во внимание независимость результата дифференцирования от порядка дифференцирования как с положительной, так и с отрицательной стороны поверхности, мы можем написать 
т. e. 
Иначе говоря, отношение 
не должно зависеть от значка k. Полагая 
мы преобразуем окончательно последнюю формулу к виду
Эти формулы дают кинематические условия совместности для случая разрыва второго порядка, т. е. разрыва производных второго порядка.
- непрерывна с одной стороны некоторой поверхности 
. Если с той же стороны поверхности задана некоторая линия 
где 
имеют непрерывные производные по t, то вдоль 
функция f есть функция от 
и мы имеем
ее концы и N — переменная точка на l. Проведем через N прямую, параллельную нормали 
к поверхности а точке 
причем нормаль направим в ту сторону, где определена функция f, и отложим на каждой из этих прямых отрезок NN одной и той же длины 
. Мы считаем, что концы N этих отрезков образуют некоторую линию которая не пересекает сама себя и лежит в той области, где определена функция f. Точки этой линии имеют координаты 
Вдоль l мы можем применить формулу (11):
соответствующего точке 
до переменного 
