148. О разрешимости задачи Дирихле в пространстве ...

Переходим теперь к исследованию разрешимости задачи (403) в пространстве . Пусть относительно L и D выполнены условия п. [145] и п. [146], которые гарантировали справедли вость первого и второго основных неравенств. Обозначим через оператор где Е — единичный оператор, а число выбрано так, чтобы

Тогда в силу (417) для любой функции и из справедливо неравенство

из которого следует оценка

С другой стороны, для оператора и произвольного элемента и пространства имеет место неравенство (434) с некоторой постоянной определяемой областью D, числами из условий (413), (433) и числом где . Из этого неравенства и оценки (460) получим

где . Докажем справедливость следующего вспомогательного предложения:

Теорема 1. Пусть для L и оператора имеющего тот же вид, что и L, справедливы условия (413) и (433), и для справедливо неравенство (459). Область D предполагаем удовлетворяющей условиям предыдущего пункта. Пусть, кроме того, задача

имеет решения и из для какого-либо плотного в множества элементов Тогда задачи

где однозначно разрешимы в для всех из [0,1] при любой из .

Из условий теоремы следует, что для справедливы неравенства

и

для любой и из Благодаря (465) задача (462) однозначно разрешима в для любой f из Действительно, для разрешимость дана одним из условий теоремы, а единственность следует из (465). Если же но не принадлежит то возьмем последовательность из , сходящуюся к в норме Для каждой из существует решение задачи (462) с принадлежащее . В силу линейности задачи (462) разность есть решение, соответствующее свободному члену Для справедливо неравенство (465), т. е.

из которого видно, что образуют последовательность Коши в пространстве . В силу полноты последнего, существует единственный элемент к которому сходятся в норме Так как коэффициенты являются ограниченными функциями, то будут сходиться в и потому Итак, мы убедились, что задача (462) разрешима в при любом из причем в силу (465) решение ее единственно. Тем самым, можно утверждать, что оператор устанавливает взаимно однозначное соответствие между полными пространствами Обратный к оператор отображает на и в силу неравенства (465) для любого элемента v из

Оценка (466), или что то же оценка нормы как оператора из дается неравенством (465) (действительно, если в (465) функцию обозначить через v, то и есть не что иное, как Покажем, что этими же свойствами обладают и все операторы те [0, 1]. Для этого применим к обеим частям уравнения (463) оператор и результат запишем в виде

Равенство (467) рассмотрим как операторное уравнение

в пространстве со свободным членом . В нем есть ограниченный оператор, действующий в пространстве Его норма не превосходит постоянной определяемой максимумами модулей коэффициентов ибо для любой норма и в силу (466)

где . В силу леммы имеет единственное решение в для Но это означает, что задачи (463) однозначно разрешимы в при любой и любом неотрицательном и операторы при те устанавливают взаимно однозначное соответствие между . Если , то возьмем какое-либо из и, представив в виде запишем задачу (463) в эквивалентной форме:

Оператор является ограниченным в пространстве Покажем, что его норма не превосходит Для этого заметим, что из условия (459) для следует

Кроме того, для коэффициентов стоящих при справедливы те же неравенства (413) и (433), что и для соответствующих коэффициентов L и а модуль коэффициента при и не превосходит Ввиду этого, для справедливы неравенства (460) и (461), а из этого следует, что для тех , для которых существует, в частности для Но тогда уравнение (470) однозначно разрешимо в при в том числе при Таким образом, мы установили существование оператора обратного . Если , то представим в виде и повторим для него только что проведенное рассуждение. Так, за конечное число шагов, мы исчерпаем весь отрезок и докажем обратимость операторов а тем

самым и нашу теорему I. При оператор совпадает с интересующим нас оператором

Теорема I позволяет доказать безусловные теоремы сущест вования для задачи

для достаточно широкого класса областей D. Пусть сначала D есть шар или параллелепипед. Для таких D возьмем в качестве оператор Лапласа. Для него задача (462) удовлетворяет требованиям теоремы 1. Действительно, для таких областей нам известно, что оператор Лапласа при первом краевом условии имеет гладкие вплоть до границы собственные функции и они полны в пространстве Их можно считать ортонормированными в Любая функция f из разлагается по ним в ряд

сходящийся к в норме Функции удовлетворяют уравнениям

Задача

при любом имеет решение и это решение принадлежит Кроме того, множество функций вида с произвольными коэффициентами плотно в Оператор удовлетворяет и всем другим требованиям теоремы 1, правда, вообще говоря, с другими, чем постоянными . Но это не играет существенной роли: можно в условиях (413), (433) и (459) выбрать постоянные общими для

Таким образом мы показали, что задача (471) однозначно разрешима в при любой для случая, когда D есть шар, или параллелепипед. Аналогичное рассуждение

остается справедливым и для других областей D, для которых известно, что все собственные функции спектральной задачи (471) принадлежат Например, это так для сферического слоя и других областей, являющихся параллелепипедами в сферической или цилиндрической системах координат.

Пусть теперь область D может быть преобразована в область В, являющуюся одной из таких областей, причем функции осуществляющие это преобразование, и обратные им функции принадлежат соответственно, а якобианы и строго положительны.

Легко видеть, что если при этом и , то будет элементом и наоборот. Дифференциальное выражение при переходе от переменных к у преобразуется так:

где

а Легко проверить, что коэффициенты L удовлетворяют неравенствам вида (413) и (433), правда, с другими постоянными. По этим постоянным можно выбрать столь большое число что для в В будет выполняться условие вида (458), а потому и неравенство (459). Если В есть шар, параллелепипед или шаровой слой, то из доказанного выше следует, что задача однозначно разрешима в при любой . Переходя в ней к старым переменным убедимся в однозначной разрешимости в задачи (471) при взятом нами и любой Таким образом доказана следующая теорема:

Теорема 2. Если коэффициенты L из (402) удовлетворяют условиям (413) и (433) и область D есть шар, параллелепипед или шаровой слой, или может быть преобразована в одни из этих областей с помощью регулярного преобразования

то задача (471) однозначно разрешима в при любой для всех достаточно больших

Замечание. С помощью этой теоремы можно доказать, что такая же разрешимость имеет место для любой области D (в том числе и неограниченной), граница которой есть поверхность класса .