72. Случай двух независимых переменных.

Рассмотрим систему уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными и предположим, что она разрешена относительно частных производных по . Таким образом, мы имеем систему в виде

где могут зависеть от Вводя векторы составляющими матрицу А с элементами можем переписать систему (79) в виде одного векторного равенства:

Введем вместо и новый вектор v по формуле

где В — некоторая матрица с элементами зависящими от имеющими непрерывные производные в некоторой области D плоскости и с определителем, отличным от нуля. Мы имеем

где дифференцирование матрицы В сводится к дифференцированию ее элементов. Подставляя (81) и (82) в (80), получим уравнение для

где — вектор, составляющие которого зависят от Умножая обе части на получим преобразованное уравнение в виде

Выберем теперь, если возможно, матрицу В так, чтобы матрица имела диагональную форму. Это связано, как известно, с решением характеристического уравнения для матрицы

где в левой части стоит определитель матрицы , или, в раскрытом виде:

Положим, что в окрестности некоторой точки коэффициенты имеют непрерывные производные и уравнение (85) имеет различные корни . Последнее существенно для дальнейшего. При этом в упомянутой окрестности мы сможем, пользуясь методом, описанным в [НЬ; 27], построить матрицу В с указанными выше свойствами так, чтобы матрица привелась к чисто диагональной форме, и при этом уравнение (83) мы можем написать, выписывая все составляющие, в виде

Если все - вещественны в упомянутой окрестности, то система называется гиперболической в этой окрестности.

Пользуясь обозначениями из [63], мы имеем для системы

для величин определяемых формулами (5), получаем

уравнение (6) принимает вид

и оно распадается на линейных уравнений:

Если -решение одного из этих уравнений, то семейство есть семейство характеристических линий или характеристик для системы (86). Уравнение (88) равносильно обыкновенному уравнению:

и через каждую точку плоскости той области, где мы имеем функции с непрерывными производными первого порядка, проходит характеристик.

Рассмотрим точки, достаточно близкие к оси и пусть h — часть интегральной линии уравнения (89), проходящей через точку между этой точкой и пересечением этой интегральной линии с осью в некоторой точке Вдоль линии h мы можем считать любую функцию функцией только от и, в силу (89), имеем

Таким образом, система уравнений (86) равносильна следующей системе интегральных уравнений:

Принимая, что на оси нам заданы значения функций мы можем считать известными и можем применить к системе (90) метод последовательных приближений. Это дает теорему существования и единственности решения задачи Коши и непрерывную зависимость от начальных данных. Подробное изложение этого вопроса, а также рассмотрение тога случая, кода уравнение (85) имеет кратные корни, можно найти в упомянутой выше книге И. Г. Петровского.