60. Обобщенные решения уравнений второго порядка.

В [44] мы исследовали вопрос, за какими функциями заданными в области D, имеющими разрывы производных первого порядка на гладкой поверхности а и удовлетворяющими вне а уравнению или разумно сохранить название решений (лучше — обобщенных решений) этих уравнений в области D. С точки зрения физических задач, приводящих к этим уравнениям, на такие функции надо наложить требование означающее, что на поверхности разрыва не сосредоточены никакие внешние силы. С математической же точки зрения желательно, чтобы для них сохранилась формула Грина (79), центральная роль которой была понята в длительном процессе изучения дифференциальных уравнений. В [44] мы показали, что эти требования эквивалентны, если и имеет «регулярные» разрывы, т. е. удовлетворяет кинематическим условиям совместности, и поверхности разрывов гладкие. Для и, удовлетворяющих всем этим условиям и уравнению вне а, справедливо тождество

при любой . С другой сторон: были определены понятия обобщенных производных и обобщенных дифференциальных операторов для функций из Согласно с этими определениями тождество (224) означает, что для и определен обобщенный оператор

Назовем функцию обобщенным решением класса L уравнения в области D, если она квадратично суммируема по любой ограниченной строго внутренней подобласти D области D и для нее выполняется тождество (224) при любой . Будем под D понимать только такие подобласти

Аналогично обобщенным решением класса в области D уравнения

назовем любую функцию квадратично суммируемую по всем подобластям D и удовлетворяющую тождеству

при любой . Здесь L есть оператор, сопряженный по Лагранжу к L, т. е.

Для корректности этого определения надо считать, что коэффициенты дважды дифференцируемы, а коэффициенты имеют производные первого порядка. Предположим, что производные непрерывны в D. Решения уравнений (225), принадлежащие основном только такие решения мы рассматривали до сих пор), будем называть классическими. Классические решения уравнения (225) удовлетворяют тождеству (226), ибо для любых справедлива формула Грина

Верно и обратное: если и удовлетворяет тождеству (226), то она есть классическое решение уравнения (225). Действительно, из (226) и (227) следует, что

при любых а отсюда в силу теоремы 2 из примененной к любой b, следует, что

Имеет место следующая

Теорема 3. Если коэффициенты L постоянны в D, то любое обобщенное решение класса однородного уравнения (225)

можно аппроксимировать в нормах классическими решениями того же уравнения.

Действительно, пусть и есть обобщенное решение класса однородного уравнения (225) в , т. е. для любой D и

при любой Возьмем в качестве усреднения и, описанные в для функции . При достаточно малом h эти усреднения принадлежат . В силу того, что ядро усреднения зависит лишь от разности, для любой производной от v верно равенство и потому Кроме того, нетрудно проверить, используя теорему Фубини, что

для любых и из из если А достаточно мало (величина Л должна быть меньше расстояния носителя но до границы D). Ввиду всего сказанного справедливы равенства

Зафиксируем какую-либо внутреннюю подобласть D области D. Соотношения (230) справедливы при любой v из и А, меньших расстояния D до границы D. Это в силу теоремы 2 из гарантирует, что является классическим решением однородного уравнения (225). При они сходятся к обобщенному решению и в норме так что высказанное выше утверждение доказано.

Легко видеть, что верно и обратное утверждение если функция и может быть аппроксимирована в нормах классическими решениями однородного уравнения (225), то она является обобщенным решением этого уравнения в области

Благодаря этим двум утверждениям можно было бы дать другое определение обобщенных решений уравнения в b, как пределов в нормах его классических решений, причем это определение было бы эквивалентно данному выше. Однако мы не будем работать с ним, ибо оно применимо лишь к операторам L с постоянными (или, общее, с достаточно гладкими) коэффициентами. Отметим лишь, что в работах С. Л Соболева

30-х годов развивался именно такой подход при исследовании разрывных решений волнового уравнения и нахождении решений задачи Коши для него. Далее он и ряд других авторов исследовали разрешимость задачи Коши для гиперболических уравнений с переменными коэффициентами, исходя из классических решений задачи Коши для специально построенных уравнений, аппроксимирующих данное. Обобщенные же решения уравнения (или задачи Коши для него) определялись, как пределы (в тех или иных нормах) классических решений приближенных уравнений (или задач Коши для них), аппроксимирующих данное. Для тех же уравнений или предельных задач для них, для которых имелись какие-либо хорошие интегральные представления решений, обобщенные решения определялись с помощью этих представлений (см. работы Н. М. Гюнтера, Ж. Лерэ и др.). Доминирующая роль тождества (226) была осознана не сразу, хотя оно фигурировало еще в работах 20-х годов (например, в работе: Винер Н. The Operational Calculus. - Math. Ann., 1926, 95, p. 557-584).

Позже (в конце 40-х — начале 50-х годов) были даны определения обобщенных решений задачи Коши и предельных задач для уравнений разных типов, не использующие ни представления этих решений, ни аппроксимационные процессы Эти определения, опирающиеся на интегральные тождества, оказались плодотворными при решении предельных задач. Именно такая идеология была систематически развита в работах О. А. Ладыженской, в частности в ее монографии «Смешанная задача для гиперболического уравнения» (М.: Физматгиз, 1953). В них была понята целесообразность введения не одного какого-либо класса обобщенных решений задачи, а целой шкалы обобщенных решений, если коэффициенты уравнения достаточно гладкие функции. Напротив, если коэффициенты уравнения негладкие функции, то нередко с ним можно связать лишь какой-то определенный класс обобщенных решений. Так, например, если коэффициенты или уравнения (225) не имеют производных, входящих в выражение L, то данное выше определение его обобщенных решений, использующее тождество (226), неправомерно. В следующей главе мы дадим определения обобщенных решений различных предельных задач, принадлежащих тем или иным функциональным пространствам, и покажем, как с их помощью исследовать разрешимость этих задач.

Здесь же рассмотрим задачу Коши

считая, что коэффициенты L достаточно гладкие функции и уравнение гиперболично. Умножим уравнение (231) на произвольную функцию (напомним, что такие функции имеют компактный носитель) и полученное равенство проинтегрируем по области После этого выполним в левой части интегрирование по частям, так, чтобы на и не осталось никаких производных. При этом выделятся граничные интегралы по плоскости содержащие функции которые мы заменим на согласно требованиям (232). В результате этих операций мы придем к тождеству

В нем

и все интегралы фактически берутся лишь по ограниченной области, где отлична от нуля.

Назовем обобщенным решением класса 1% задачи Коши (231), (232) функцию и, принадлежащую (т. е. квадратично суммируемую по любой ограниченной подобласти области ) и удовлетворяющую интегральному тождеству (233) при любой

Ясно, что если коэффициенты L имеют непрерывные производные, входящие в принадлежат то это определение не абсурдно, т. е. все интегралы, входящие в равенство (233), сходятся. Классические решения задачи (231), (232) удовлетворяют тождеству (233). Далее, если функция удовлетворяет этому тождеству при любой и дважды непрерывно дифференцируема при то она будет решением задачи (231), (232). Чтобы убедиться в этом, надо выполнить интегрирование по частям, перенося обратно производные с на и. Это приведет к тождеству

для интегралы по равны нулю, и из полученного тождества, сснласно теореме 2 из [IV, 113] мы заключим

что . Но тогда (234) эквивалентно тождеству

Возьмем теперь лишь те из которые равны нулю при Тогда из (235) выпадет интеграл, в который входит , а из полученного тождества будет следовать (в силу той же теоремы 2 из [IV; 113]) равенство ибо в качестве можно взять любую функцию из . Таким образом, (235) редуцируется к тождеству

из которого аналогично заключим, что Итак, мы убедились, что тождество (233) содержит в себе всю информацию о задаче (231), (232). Из доказательства этого факта видно, насколько существенным было то, что это тождество должно выполняться при любых из . Если бы мы взяли более узкий класс функций , например только , то мы не смогли бы доказать, что функция и удовлетворяет начальным условиям (232). Из всего сказанного ясно, что данное выше определение обобщенного решения задачи (231), (232) действительно является расширением понятия ее классического решения. Такое расширение необходимо, если функции или не обладают достаточной гладкостью. Например, если f разрывна, или если или недифференцируемы, то задача (231), (232) заведомо не имеет классических (дважды непрерывно дифференцируемых в ) решений.

Однако введенное нами расширение понятия решения задачи (231), (232) нуждается еще в одном оправдании. А именно, в [57] мы доказали, что в классе классических решений задача (231), (232) имеет детерминированный характер: она не может иметь двух различных решений. Это одно из важнейших свойств динамических задач желательно сохранить, и потому необходимо выяснить, сохраняется ли в определенном выше классе обобщенных решений теорема единственности. Приведенное в [56] доказательство не годится, ибо для его правомерности исследуемые решения должны обладать хотя бы обобщенными производными второго порядка. Другой способ доказательства теоремы единственности был предложен в начале века Гольмгреном. Но он требует умения находить классические решения сопряженной задачи при достаточно гладких и финитных свободных членах и начальных функций. Эта задача является,

по сути дела, такой же, что и исходная задача (231), (232). Для уравнений с переменными коэффициентами она была исследована Ж. Адамаром, а затем И. Шаудером и другими, весьма тяжелыми средствами и при очень большой гладкости коэффи циентов L. Было желательно найти другие способы доказательства теоремы единственности для обобщенных решений, которые не опирались бы на умение находить классические решения сопряженной задачи. Это было сделано в работах О. А. Ладыженской в начале 50-х годов (см. упомянутую на с. 183 монографию, статью: Ладыженская О. А. О разрешимости основных краевых задач для уравнений параболического и эллиптического типов. - ДАН СССР, 1954, 97, № 3, с. 395—398, и др.). Что касается нахождения обобщенных решений задачи (231), (232), то для этого можно воспользоваться методом Галеркина, методом конечных разностей, функциональным методом О. А. Ладыженской и другими.