153. Тепловые источники в многомерном случае.

Идея потенциала может быть применена и к мноюмерным задачам теплопроводности. Мы ограничимся указанием результатов, которые аналогичны предыдущим. Доказательство свойств потенциалов в многомерном случае представляет значительно большие трудности по сравнению с одномерным случаем. Будем рассматривать плоский случай, т. е. уравнение

Пусть на плоскости имеется область В с контуром . Основное сингулярное решение, соответствующее источнику в точке действующему с момента времени , имеет вид

Аналог потенциала простого слоя дается следующей формулой:

где а — длина дуги контура l, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки, — функция переменной точки а контура и параметра . Через обозначено расстояние от точки до переменной точки о контура U Тепловой потенциал двойного слоя представляется формулой

где — направление внешней нормали в переменной точке интегрирования, или

где направление считается из точки а в точку Если ввести угол под которым элемент длины виден из точки , то предыдущую формулу можно переписать в виде

Предельные значения потенциала двойного слоя в точке контура определяются формулами

где расстояние от переменной точки интегрирования до точки . Потенциал простого слоя (22) непрерывен при переходе через контур

его производная по нормали в точке его контура имеет в этой точке предельные значения, определяемые по формулам

Пользуясь указанными формулами, можно приводить решение предельных задач к интегральным уравнениям. Пусть, например, ищется функция удовлетворяющая внутри В уравнению (21), имеющая на контуре данные предельные значения:

где s — координата точки контура, определяемая длиною дуги s, отсчитываемой от некоторой точки Начальные данные считаются равными нулю. Отыскивая решение в виде потенциала двойного слоя (23), получаем, в силу первого из равенств (24), интегральное уравнение для функции

где r — расстояние между точками s и а контура и направление считается от и s. В написанном уравнении интегрирование по совершается по фиксированному промежутку где L — длина контура и при интегрировании по верхний предел является переменным. Иначе говоря, написанное интегральное уравнение имеет характер уравнений Фредгольма отношению к переменной о и характер уравнений Вольтерра по отношению к переменной т. Несмотря на такой смешанный характер уравнения (27), обычный метод последовательных приближений, описанный нами для уравнений Вольтерра, оказывается сходящимся и в случае уравнения (27). Метод применим и для области, ограниченной несколькими контурами. Он легко обобщается и на трехмерный случай и применим к внешним задачам. Приведение начального условия к нулю совершается так же, как и в одномерном случае, при помощи решения задачи для всей плоскости или всего пространства. В случае трехмерного пространства формула была нами дана в [II; 214], В двумерном случае формула имеет вид

Исследования свойств тепловых потенциалов и их применения к предельным задачам имеются в следующих работах: 1) Леви (Levi Е.). - Ann. di Mat.? 1908; 2) Же в рей (Gevrey М.). -J. Math. pur. et appl., 1913, 9; 3) Мк)итц Г. М —Math. Z., 1934, 38, № 3; 4) Мюнтц Г. М. Интегральные уравнения -М.; Л.: ГНТИ, 1934; 5) Тихонов А. Н. — Бюлл. М.ГУ 1938.