158. Неоднородное уравнение.

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение

с однородными начальными и предельными условиями

Введем в рассмотрение коэффициенты Фурье свободного члена

и будем искать решение задачи в виде

Подставляя в уравнение (79) и принимая во внимание, что , получаем для коэффициентов дифференциальное уравнение:

откуда, принимая во внимание (80), т. е. , получим

и подставляем это в (83):

Оправдаем это решение при следующих предположениях о свободном члене: имеет при всякбм 0 внутри В непрерывные производные первого порядка по координатам точки Р и ряды

регулярно сходятся, если Р принадлежит замкнутой области В и любому конечному промежутку [0, Т]. Принимая во внимание регулярную сходимость первого из рядов (85) и тот факт, что при можем утверждать, что ряд, стоящий в правой части формулы (84), равномерно сходится при указанных условиях для . Его сумма - непрерывная функция Р и t при тех же условиях для Р и t. Из вида правой части (84) непосредственно следует, что удовлетворяет условиям (80) и (81).

Остается проверить, что функция определяемая формулой (84), имеет внутри В и при соответствующие непрерывные производные и удовлетворяет уравнению (79). Дифференцируя почленно по t ряд, входящий в формулу (84), получим

Принимая во внимание регулярную сходимость второго из рядов мы можем утверждать что ряд, стоящий в вычитаемом написанной разности, равномерно сходится при прежних

условиях для Р и t. Сумма ряда, стоящего в уменьшаемом, равна ибо по условию этот ряд регулярно сходится . Таким образом, мы имеем

причем непрерывна при указанных условиях для

Заменяя в этой формуле Р на Q, умножая обе части на и интегрируя по В, получим, принимая во внимание интегральное уравнение для

причем сумма последнего ряда равна Таким образом

Поскольку имеет внутри В непрерывные производные, можем утверждать, что последний интеграл имеет внутри В непрерывные производные до второго порядка по координатам точки Р, и оператор Лапласа от этого интеграла равен

Используем теперь регулярную сходимость третьего из рядов (85) и докажем, что имеет внутри В непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет уравнению (79).

Обозначим

Принимая во внимание регулярную сходимость третьего из рядов (85), мы можем написанный равномерно сходящийся ряд дифференцировать почленно по t, после чего получим

причем написанные ряды равномерно сходятся. Заменяя в последней формуле Р на Q, умножая обе части на ,

интегрируя по Q и учитывая уравнение для получим

и, следовательно, принимая во внимание (86), получим

откуда следует, что имеет внутри В непрерывные производные первого порядка. После этого формула (87) показы вает, что имеет внутри В непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет уравнению

и тем самым формула (84) полностью оправдана.

Если говорить только об обобщенных решениях уравнения (79), то можно оправдать формулу и при меньших предположениях о свободном члене. Напомним определение обобщенного решения уравнения (79). Пусть D — цилиндр, о котором мы говорили в [151], и его часть, ограниченная сверху плоскостью Функция называется обобщенным решением уравнения, если для всякой функции имеющей внутри непрерывные производные до второго порядка и равной нулю во всех точках, достаточно близких к границе имеет место формула

Мы ограничимся обобщенными решениями класса Предположим, что первый из рядов (85) регулярно сходится, если Р принадлежит находится в конечном промежутке . Тогда сумма этого ряда равна и, как мы выше видели, ряд (84) сходится равномерно, так что и будет принадлежать

Обозначим через отрезок первого из рядов (85)

и через — отрезок ряда (84):

Функция удовлетворяет уравнению (79) со свободным членом . Таким образом, мы можем написать:

Переходя к пределу при и принимая во внимание, что равномерно в мы получим (88), т. е. функция , определяемая формулой (84), есть обобщенное решение уравнения (79). Непосредственно видно, кроме того, что эта сумма удовлетворяет условиям (80) и (81).

Если использовать тот факт, что непрерывное обобщенное решение однородного уравнения теплопроводности есть классическое решение этого уравнения [62], и теорему единственности решения предельной задачи уравнения теплопроводности, то, совершенно так же, как и для уравнения Пуассона, можно показать, что обобщенное решение неоднородного уравнения (79) при заданных начальных и предельном условиях — единственно.