22. Интегрирование полных систем.

Вместо того чтобы интегрировать полную систему (163), мы можем интегрировать равносильную ей якобиеву систему (172).

Рассмотрим первое из уравнений этой системы и соответствующую ему систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

Эта система должна иметь независимых интегралов

причем левые части написанных уравнений должны быть решениями первого из уравнений (172). Заметим, что мы можем непосредственно написать интегралов, а именно:

введем новых переменных:

В силу независимости интегралов, написанные уравнения должны быть разрешимы относительно из переменных и мы можем выбрать функцию так, чтебы полная замена переменных

была разрешима относительно всех переменных . Если, например, уравнения 1173) разрешимы относительно то нам достаточно взять Преобразуем систему (172) к новым независимым переменным. Пользуясь формулой (170), а также, тем обстоятельством, что суть решения первого из уравнений (172), мы убеждаемся в том, что первое из написанных уравнений приведется к виду . Пользуясь этим уравнением, мы можем зачеркнуть все члены, содержащие в остальных уравнениях и, в силу линейной независимости уравнений, можем решить эти уравнения относительно некоторых из производных .

Не ограничивая общности, можно считать, что мы можем решить оставшиеся уравнения относительно Таким образом, преобразованная система будет иметь вид

Первоначальная система была якобиевой и, следовательно, полной, а потому и преобразованная должна быть полной. Но поскольку она разрешена относительно производных, она должна быть и якобиевой. Отметим, между прочим, что из рассуждений [21] непосредственно вытекает, что преобразование якобиевой системы к новым независимым переменным приводит также к якобиевой системе.

Первое из уравнений (174) показывает, что функция и не должна зависеть от . Докажем, что коэффициенты в остальных уравнениях системы (174) не содержат Действительно, всякое выражение:

должно обращаться тождественно в нуль в силу того, что система (174) якобиева, что и доказывает высказанное выше утверждение. Мы можем,

таким образом, в системе (174) откинуть первое уравнение и интегрировать остальные в предположении, что и независит от . Мы приходим, таким образом, к замкнутой системе уравнений с независимыми переменными. Проделывая с этой системой указанную выше операцию, мы придем к замкнутой системе уравнений с независимыми переменными и т. д. Окончательно мы придем к одному уравнению для функции и от независимых переменных. Обозначая эти переменные опять через мы будем иметь, таким образом, уравнение вида

где независимые переменные являются функциями первоначальных независимых переменных Соответствующая последнему уравнению система обыкновенных дифференциальных уравнений будет иметь независимых интегралов:

и общее решение этого уравнения представится в виде

где — произвольная функция. Эта же формула дает и общее решение первоначальной системы (163).