154. Функция Грина уравнения теплопроводности.

Совершенно так же, как и уравнения Лапласа, можно ввести функцию Грина и для уравнения теплопроводности. Для удобства в записи дальнейших формул обозначим через основное сингулярное решение (11). Функция Грина для при однородных предельных условиях

определяется следующим образом

где удовлетворяет уравнению теплопроводности по отношению при однородному начальному условию при

и предельным условиям:

В написанных формулах g и — фиксированы, причем . Из приведенного определения непосредственно следует, что и функция Грина зависят только от разности , и вместо можно писать , а вместо писать . Условия (30) и дают предельные значения функции на контуре полуполосы, ограниченной полупрямыми и отрезком прямой . В вершинах этой полуполосы эти предельные значения непрерывны. Это непосредственно следует из того, что решение (11), при фиксированном не равном , и стремлении t к стремится к нулю. Принимая во внимание, что указанные предельные значения не отрицательны, мы можем утверждать, что и, следовательно, в силу Функция Грина имеет при особенность, характеризуемую сингулярностью Мы имеем и, в силу при и отсюда вытекает непосредственно второе неравенство для функции Грина, а именно . Можно доказать симметричность построенной функции Грина по отношению к

Пользуясь функцией Грина, можно строить решение неоднородного уравнения теплопроводности, удовлетворяющее однородному начальному и однородным предельным условиям, а именно, если непрерывная функция в промежутке (0, l) и при имеющая непрерывные производные первого порядка, то функция

удовлетворяет уравнению

и нулевым предельным и начальному условиям.

Все сказанное может быть проведено в многомерном случае. Доказательство высказанных утверждений можно найти в упомянутой выше работе А. Н. Тихонова