Главная > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

120. Исследование граничных значений.

Пока мы не делали никаких предположений о границе области В. Наложим теперь некоторое условие, в формулировке которого будет фигурировать некоторая фиксированная точка границы области В. Множество граничных точек области В будем обозначать буквой l.

Условие I. Существует непрерывная в В и супергармоническая внутри В функция такая, что остальных точках S. Докажем теперь следующую теорему:

Теорема. Если выполнено указанное условие граничная функция непрерывна в точке то стремится к при стремлении М к точке изнутри области.

Обозначим через множество тех точек области В, расстояние которых до не превышает Пусть е — заданное положительное число. В силу непрерывности в точке существует такое положительное число что для всех точек границы В, принадлежащих выполняется неравенство

Построим непрерывную в Я и субгармоническую внутри В функцию

где С — некоторая положительная постоянная, которую мы сейчас выберем. В силу (180) и мы имеем в точках принадлежащих Выберем С настолько большим, чтобы вне мы имели то же самое неравенство в точках т. е.

Во всех точках S, расстояние которых до не меньше функция достигает наименьшего положительного значения, которое мы обозначим через . Это непосредственно следует из того, что указанные точки образуют замкнутое множество, и функция непрерывна и положительна на этом множестве Для выполнения неравенства (182) достаточно взять

где а — число, фигурирующее в неравенстве (177). При таком выборе С функция (181) будет нижней функцией. Точно так же при достаточно большом С функция

будет верхней функцией. Из следует:

и, в силу непрерывности в Б, найдется такое малое положительное что в

Пусть — любая верхняя функция. Мы имеем для всех точек М, принадлежащих В: и, следовательно, из последнего неравенства следует:

Точная нижняя граница также должна удовлетворять этому неравенству, т. е.

Точно так же из (183) следует:

и, следовательно, в силу непрерывности существует такое малое положительное , что в мы имеем

и тем более

Пусть — наименьшее из чисел и . В силу (184) и (185), мы имеем

Ввиду произвола в выборе , отсюда следует, что стремится к при изнутри области, и теорема доказана. Доказательство годится как в двумерном, так и в трехмерном случае. Если непрерывна в каждой точке границы и в каждой точке выполняется условие I, то функция непрерывна в замкнутой области В и принимает в граничных точках значения

Определение. Если при любом выборе непрерывной на I функции функция стремится к при то точка называется регулярной точкой границы. Точки

границы, не обладающие этим свойством, называются иррегулярными точками границы.

Из доказанной выше теоремы следует, что условие I есть достаточное условие регулярности точки

Укажем теперь для трехмерного случая простое достаточное условие геометрического характера регулярности точки границы. Положим, что точка границы обладает следующим свойством: существует сфера, которая не содержит никаких точек В, кроме точки . Пусть центр этой сферы и R — ее радиус. Обозначая через расстояние построим функцию

Эта функция удовлетворяет, очевидно, всем требованиям условия 1, причем внутри В она — гармоническая.

Рис. 14.

Рассмотрим теперь плоский случай, и пусть граница В состоит из конечного числа простых замкнутых кривых, имеющих уравнения: где непрерывные периодические функции параметра t (рис. 14). Положим сначала, что точка находится на внешнем контуре (рис. 14). Поместим в нее начало координат и выберем масштаб так, чтобы область В помещалась внутри круга Составим функцию

Когда двигается в не может обойти вокруг начала, и есть однозначная в В функция, регулярная внутри В и непрерывная в В, причем .

Полагая , получим для вещественной части выражение

причем . Эта гармоническая функция удовлетворяет всем указанным выше условиям.

В частности, вне мы имеем

где — наибольшее значение в В и R — наибольшее расстояние от начала до точек В.

Положим теперь, что лежит на внутреннем контуре . Выбираем внутри какую-либо точку а и совершаем конформное

преобразование плоскости:

Контур переходит во внешний контур, и мы для рассматриваемой точки можем построить функцию указанным выше способом. Переходя к прежней переменной z, получаем требуемую функцию. Таким образом, если - непрерывна во всех точках рассмотренного контура то будет непрерывна вплоть до контура и на контуре равна

Положим теперь, что есть точка разрыва причем при стремлении N к вдоль контура с обеих сторон имеет пределы, но эти пределы различны (разрыв первого рода). Обозначим их через и пусть . Рассуждая совершенно так же, как и выше, получим вместо (184)

и вместо (185)

При стремлении М к изнутри области В функция может иметь различные пределы. Но для любого из этих пределов мы имеем, в силу предыдущих неравенств и произвольности

Если ограниченная функция, т. е. удовлетворяет условиям (177), то и функция , как мы видели, удовлетворяет этому условию. Таким образом, есть ограниченная гармоническая функция, принимающая предельные значения во всех точках непрерывности этой функции.

Вернемся к трехмерному случаю. Можно построить сравнительно простую замкнутую поверхность, имеющую иррегулярные точки. Это обстоятельство было открыто Лебегом и затем, независимо от него, П. С. Урысоном. Более подробное выяснение вопроса о предельных значениях можно найти в статье М. В. Келдыша (УМН, 1941, 8).

Приведем еще пример в случае плоскости. Пусть В — круг с центром в начале координат и с исключенным центром. Множество граничных точек состоит из окружности круга и его центра. Пусть на окружности и в центре. Такая функция непрерывна на Гармоническая функция стремится, очевидно, к нулю при приближении М к точкам окружности. Покажем, что не может стремиться к единице при приближении к центру. Если бы это было так, то

была бы гармонической внутри всего круга, если принять ее значение в центре равным единице [105]. Но это противоречит теореме о среднем значении гармонической функции в центре круга. Таким образом, начало координат — иррегулярная точка границы.

Нетрудно показать, что в рассматриваемом случае . Действительно, ограничена, а потому имеет предел при стремлении М к центру [105], и если принять этот предел равным значению в центре, то гармоническая везде внутри круга [105] и равна нулю на окружности, т. е. и

Отметим еще, что вместо условия I можно поставить условие регулярности, которое касается только окрестности точки причем можно показать, что это новое условие равносильно условию I.

Условие II. Для некоторой окрестности точки существует функция непрерывная в вплоть до границы, супергармоническая внутри и такая, что остальных точках

Можно показать, что в трехмерном случае точка удовлетворяет условию II, если эта точка является вершиной кругового конуса, все точки которого, достаточно близкие к лежат вне В (кроме точки ). Таким образом, такие точки регулярны. (См. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Физматгиз, 1961.)

В дальнейшем мы будем всегда считать, если не будет соответствующих оговорок, что контуры или поверхности, ограничивающие области, о которых будет идти речь, таковы, что все их точки суть регулярные точки. Таковыми будут, например, поверхности Ляпунова. Для них мы построили решение задачи Дирихле при помощи теории потенциала и интегральных уравнений.

Если на границе задана непрерывная функция и все точки границы регулярны, то построенная гармоническая функция непрерывна вплоть до границы и на границе принимает значения Мы знаем, что может существовать только одна такая функция. Если на границе имеются нерегулярные точки, то гармоническая функция ограничена внутри области и принимает во всех регулярных точках границы значения . Можно показать, что может существовать только одна функция с такими свойствами. Доказательство этого утверждения и ряда других интересных фактов, в том числе критерия регулярности Винера, можно найти в упомянутой выше статье М. В. Келдыша.

1
Оглавление
email@scask.ru