ГЛАВА II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

§ 1. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

74. Функция Грина линейного уравнения второго порядка.

Настоящая глава будет посвящена рассмотрению предельных задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений с частными производными. Мы неоднократно уже встречались с решением таких задач. Цель настоящей главы — дать систематическое изложение вопроса.

Применение метода Фурье к решению предельных задач математической физики приводило нас неоднократно к следующей предельной задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, содержащего параметр: найти такие значения параметра X, при которых в конечном промежутке существует отличное от нуля решение однородного уравнения

удовлетворяющее на концах этого промежутка некоторым однородным предельным условиям:

где — заданные числа. При этом мы, конечно, считаем, что по крайней мере одно из чисел а также отлично от нуля. Мы будем предполагать, что непрерывные функции в замкнутом промежутке причем функция не обращается в этом промежутке в нуль и имеет непрерывную производную. Введем специальное обозначение для суммы тех слагаемых левой части уравнения (1), которые не содержат параметра X:

Будем, как всегда, называть собственными числами или собственными значениями те значения параметра , при которых

поставленная однородная задача имеет не нулевое решение, а собственными функциями — сами эти решения. Они определяются, очевидно, с точностью до постоянного множителя. Нетрудно видеть, что всякому собственному значению может соответствовать только одна собственная функция. Действительно, положим, наоборот, что при некотором значении существуют два линейно-независимых решения уравнения (1), удовлетворяющих предельным условиям (2). При этом оказалось бы, что и общий интеграл уравнения (1) удовлетворяет этим предельным условиям (2). Но этого быть не может, так как можно определить решение уравнения (1) при таких начальных данных для которые не удовлетворяют первому из предельных условий (2). Пользуясь элементарными преобразованиями, которые мы применяли много раз [ИЬ; 105, 146, 158], можно показать, что собственные функции соответствующие различным собственным значениям, обладают свойством ортогональности, а именно:

Мы введем сейчас для оператора функцию, аналогичную статическому прогибу струны под действием сосредоточенной силы, который мы рассматривали в . В этом последнем случае роль оператора играл оператор Для того чтобы естественным путем придти к выяснению свойств упомянутой выше функции, рассмотрим неоднородное уравнение

и предположим, что функция равна нулю во всем промежутке кроме малого промежутка , где — фиксированная точка, лежащая внутри причем выполнено условие

При стремлении к нулю мы и получим в пределе аналог сосредоточенной в точке силы. Рассмотрим при этом предположении относительно решение уравнения (3), удовлетворяющее предельным условиям (2), считая, что такое решение существует. Интегрируя обе части уравнения (3) по и принимая во внимание (4), получим

или в пределе, при ,

т. е. производная упомянутого выше решения должна иметь в точке разрыв непрерывности первого рода со скачком, равным - то решение будет зависеть, конечно, и от того, какую именно точку промежутка мы выбираем за точку , так что оно будет функцией двух переменных и мы его в дальнейшем будем обозначать через и называть функцией Грина оператора при предельных условиях (2). Предыдущие соображения приводят нас к следующему строгому определению функции Грина: функцией Грина оператора при предельных условиях (2) называется функция удовлетворяющая следующим условиям: 1) она определена и непрерывна в квадрате определяемом неравенствами а как функция переменной она имеет при а непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет однородному уравнению как функция от она удовлетворяет предельным условиям (2); 4) на диагонали упомянутого квадрата, т. е. при ее производная по аргументу , которую мы будем обозначать через имеет разрыв первого рода, причем должны быть удовлетворены следующие два условия:

Эти последние условия сводятся к одному следующему требованию: при приближении к любой точке упомянутой диагонали как сверху, т. е. из области так и снизу, т. е. из области производная должна иметь определенные значения, и разность этих предельных значений должна равняться - В каждой из этих двух областей вторая производная по первому аргументу выражается, в силу следующим образом:

и, следовательно, и эта вторая производная будет иметь определенные предельные значения при приближении к точкам диагонали с той или лной стороны.

Докажем теперь, что существует, и притом единственная, функция Грина, удовлетворяющая всем указанным выше условиям.

Мы будем при этом предполагать, что не есть собственное значение, т. е. что уравнение не имеет решений, отличных от тождественного нуля, удовлетворяющих уело виям (2). В дальнейшем мы увидим, каким образом надо видоизменить определение функции Грина в том случае, когда есть собственное значение. Построим решение однородного уравнения принимая за начальные значения некоторые числа, удовлетворяющие первому из условий (2). Это решение и вообще все решения при произвольном постоянном Си будут удовлетворять первому из предельных условий. Нетрудно видеть, что этим и исчерпываются все решения, удовлетворяющие первому из условий (2). Действительно, если некоторое решение удовлетворяет этому условию, то мы имеем два однородных уравнения относительно а и

и поскольку мы, естественно, считаем, что по крайней мере одно из этих чисел отлично от нуля, определитель написанной системы должен равняться нулю, т. е. определитель Вронского решений обращается в нуль при , а потому линейно-зависимы, т. е.

Совершенно так же пусть где произвольная постоянная, суть решения уравнения удовлетворяющие второму из условий (2). Согласно теореме существования и единственности, оба решения определены во всем промежутке и линейно-независимы. Действительно, если бы они оказались линейно-зависимыми, то удовлетворяло бы обоим предельным условиям (2), и оказалось бы собственным значением, что противоречит сделанному выше предположению. При функция должна иметь вид а при она должна иметь вид Остается подобрать постоянные так, чтобы в точке функция была непрерывной, а ее производная имела указанный выше скачок. Это приводит нас к следующим двум уравнениям для определения

Определитель этой системы отличен от нуля, поскольку наши решения линейно-независимы, и таким образом мы получаем определенные значения для постоянных Определитель Вронского наших двух решений, как

нетрудно видеть должен выражаться формулой

где с — некоторая постоянная, отличная от нуля. Добавляя постоянный множитель, например к решению мы можем считать, что наши решения будут удовлетворять соотношению

Из него непосредственно следует, что система (6) имеет решение: и функция Грина определяется следующим образом:

Нетрудно проверить непосредственно, что она удовлетворяет всем четырем условиям. Ее единственность непосредственно вытекает из предыдущих рассуждений.