38. Промежуточные интегралы.
Для удобства дальнейших вычислений преобразуем уравнения (41), определяющие характеристические полосы, к новому виду. Вспоминая основное свойство корней квадратного уравнения, мы с можем написать 
и, пользуясь этим равенством, мы можем пере писать систему (41) при 
в виде
Вторая система 
получится из написанной перестановкой букв 
и Будем искать такую функцию 
, полный дифференциал козорой равен нулю в силу уравнений (42):
Определяя 
из системы (42) и подставляя в левую часть последнего уравнения, мы должны будем приравнять нулю коэффициенты при оставшихся дифференциалах 
Тдким образом, оказывается, что для того, чтобы функция V была интегралом системы (42):
необходимо и достаточно, чтобы функция V удовлетворяла двум линейным однородным уравнениям с частными производными первого порядка;
Если мы в этих уравнениях поменяем 
местами, то получим аналогичную систему, выражающую необходимое и достаточное условие того, что функция V является интегралом второй системы характеристических полос. Методы разыскания решений системы (45) были нами изложены в [22], Положим, что нам удалось найти решение этой системы, отличное от тривиального решения, равного постоянному. Покажем, что при этом всякое решение уравнения первого порядка (44), не являющееся особым решением, будет и решением нашего уравнения (28). Действительно, в рассматриваемом случае полный дифференциал V должен обращаться в нуль в силу (42), т. е. должен быть линейной комбинацией левых частей этих уравнений:
Пусть имеется некоторая интегральная поверхность S уравнения (44). На этой поверхности и, 
, q являются определенными функциями 
и, интегрируя уравнение первого порядка 
мы получим некоторое семейство линий, покрывающих поверхность S. Кроме того, вдоль этих линий мы должны, очевидно, иметь 
Принимая во внимание, что в силу только что сказанного, сомножители при а и у в формуле (46) вдоль наших линий равны нулю, мы получим вдоль этих линий, т. е. на поверхности S, равенство
По условию, интегральная поверхность S не является особым решением, и, следовательно, в левой части формулы (43) коэффициент при 
или 
окажется отличным от нуля. Из этого вытекает что 
следовательно
вдоль наших линий выполняются все три уравнения (42), т. е. поверхность S оказывается покрытой характеристическими полосами уравнения (28). Но тогда, в силу четвертой теоремы из [37], эта поверхность является интегральной поверхностью уравнения (28). Таким образом, имея интеграл (44), мы получаем некоторый класс решений уравнения (28), интегрируя уравнение первого порядка (44). Положим, что нам удалось найти два независимых решения системы 
и 
. При этом выражение 
при произвольном выборе функции Ф также будет решением системы 
и мы будем иметь следующий интеграл системы (42):
содержащий произвольную функцию Ф. Пусть ищется интегральная поверхность уравнения (28), содержащая заданную полосу (29). Подставляя в функции 
вместо 
их выражения (29), мы получим две определенные функции параметра 
. Уравнение (47) приведется при этом к виду 
. Введем вместо t новую переменную а 
. Решая это уравнение относительно 
будем иметь 
предыдущее равенство, выраженное в переменной а, определит нам вид функции 
. После определения вида функции 
уравнение (47) будет представлять собою определенное уравнение первого порядка. Решая для него задачу Коши при начальных данных (29), мы получим решение задачи Коши и для уравнения (28). Всякий интеграл системы (42) или аналогичной системы, получаемой перестановкой 
называется обычно промежуточным интегралом уравнения (28). Заметим, что если система (45) оказывается полной, то она имеет три независимых решения. Можно показать, что это может иметь место только при 
Замечание. Положим, что 
, а коэффициенты а, b и с постоянные или зависят только от 
и q. При этом 
зависят также только от 
и q, и мы можем найти решение системы (45), если будем искать V, зависящим только от 
и q. Первое уравнение будет при этом удовлетворено при любом выборе 
ибо 
и для нахождения V мы получаем одно уравнение 
Найдя решение этого уравнения 
мы получим уравнение первого порядка 
каждое решение которого удовлетворяет и исходному уравнению второго порядка. Вместо 
мы могли бы использовать второй корень 
уравнения (32) и получили бы другое уравнение первого порядка: 
.
