126. Функция Грина и неоднородное уравнение.

Рассмотрим неоднородное уравнение

в области ограниченной поверхностью S. Мы считаем, что непрерывна в вплоть до и имеет внутри непрерывные производные первого порядка. Ищем решение (220), непрерывное вплоть до и удовлетворяющее предельному условию

Такое решение может быть только одно. Это непосредственно следует из того, что разность двух решений уравнения (220) при условии (221) должна удовлетворять уравнению Лапласа и условию (221), т. е. должна равняться тождественно нулю. Покажем, что искомое решение имеет вид

или иначе:

В силу (192) можем написать:

Первое слагаемое имеет внутри непрерывные производные до второго порядка, и оператор Лапласа от него равен . Покажем, что второе слагаемое можно дифференцировать по координатам (х, у, z) точки Р сколько угодно раз под знаком интеграла. Отсюда будет следовать, что оно представляет собою гармоническую внутри функцию, ибо гармоническая функция точки Р. Сделаем сначала одно замечание. Пусть предельные значения гармонической функции зависят от параметра а. При этом и сама гармоническая функция зависит . Если при мы имеем равномерно на S, то равномерно в замкнутой области

Так как , то функция есть гармоническая функция точки с предельными значениями где . Мы считаем, что Р находится внутри

Функция

есть гармоническая функция точки с предельными значениями

При эти предельные значения равномерно на S стремятся к

и отсюда непосредственно вытекает, что отношение (225) равномерно по стремится к гармонической функции точки с предельными значениями (226). Аналогичные рассуждения. применимы и для других производных до любого порядка. Таким образом, функция имеет непрерывные производные всех порядков по координатам точки Р, когда . Отсюда и вытекает непосредственно возможность дифференцировать второе слагаемое формулы (224) по под знаком интеграла.

Остается доказать, что функция определяемая формулой (222), удовлетворяет предельному условию (221). По существу это вытекает из того, что как функция от Р, удовлетворяет этому условию. Недостаточность такого рассуждения заключается в том, что при интегрировании точка Q может быть сколь угодно близкой к S, а с другой стороны, и точка Р при проверке условия (221) должна стремиться к S. При этом поведение функции неясно.

Проведем строгое доказательство того, что функция (222) удовлетворяет условию (221) в любой точке Пусть D — часть области , находящаяся вне сферы с центром и радиусом и D" — часть , находящаяся внутри этой сферы. Если задано положительное число , то, принимая во внимание оценку (196), мы можем взять настолько малым, чтобы интеграл, входящий в формулу (222) и взятый по был по абсолютной величине меньше при любом положении точки Р внутри упомянутой сферы. При интегрировании по точка Q принадлежит , а точку Р мы считаем находящейся в малой окрестности точки например, внутри сферы с центром и радиусом При этом расстояние больше и из [122] следует, что непрерывная функция пары точек .

Таким образом, в интеграле по мы можем переходить к пределу по Р при и этот предел равев нулю, ибо удовлетворяет условию (221). Таким образом, интеграл поубудет по абсолютной величине меньше если Р достаточно близко к а следовательно, и весь интеграл, сходящий в формулу (222), будет по абсолютной величине меньше , если Р достаточно близко к Отсюда, ввиду произвольности , и следует, что этот интеграл удовлетворяет условию (221). Таким образом, наше утверждение о том, что формула (222) дает решение уравнения (220), удовлетворяющее условию (221), полностью доказано.

Замечание 1. При доказательстве существования непрерывных производных второго порядка у объемного потенциала и формулы Пуассона достаточно предположить, что его плотность удовлетворяет в условию Липшица — вместо существования непрерывных производных первого порядка (см., например Г юнтер Н. М. Теория потенциала... - Париж, 1934). Таким образом, наше утверждение о том, что формула (222) дает решение задачи (220), (221), справедливо, если удовлетворяет условию Липшица:

Если только непрерывна в замкнутой области то мы уже не можем утверждать, что первое слагаемое правой части формулы (224) имеет непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет уравнению (220). Но остается в силе доказательство того, что второе слагаемое упомянутой формулы есть гармоническая внутри D, функция и что определяемая формулой (222), удовлетворяет условию (221).

Принимая во внимание, что объемный потенциал с непрерывной плотностью является обобщенным решением уравнения (220) [62], мы можем утверждать, что формула (222) при непрерывности в замкнутой области дает обобщенное решение уравнения удовлетворяющее условию (221).

Покажем, что такое решение единственно. Положим, что существуют два непрерывных обобщенных решения уравнения (220), удовлетворяющих условию (221). Мы имеем

где — любая функция с непрерывными производными до второго порядка равная нулю во всех точках, достаточно

близких к S. Вычитая почленно, получим

откуда следует, что гармоническая внутри функция [62]. Из того, что - непрерывна вплоть до и равна нулю на , следует, что тождественна с

Таким образом, при любой непрерывной функции формула (222) дает единственное обобщенное решение уравнения (220), удовлетворяющее условию (221). Это решение имеет в непрерывные производные первого порядка [II; 210].

Замечание 2. Положим, что нам дана функция непрерывная в замкнутой области , удовлетворяющая условию и имеющая внутри D, непрерывные производные до второго порядка, такие, что оператор Лапласа непрерывен вплоть до S. Подставляя эту функцию в левую часть уравнения (220), мы получим функцию -непрерывную в замкнутой области . Функция является, очевидно, как обычным, так и обобщенным решением уравнения (220), удовлетворяющим условию (221), а потому эта функция должна выражаться формулой (222) через

Все сказанное переносится и на двумерный случай, когда уравнение (220) имеет вид

Его решение в области В с контуром удовлетворяющее предельному условию

дается формулой