67. Уравнения теории упругости.

В качестве примера применения теории характеристик к системам уравнений второго порядка рассмотрим уравнения теории упругости в простейшем случае однородной изотропной среды. Обозначим через составляющие вектора смещения и через X и обычные постоянные упругого вещества. Основные уравнения теории упругости представляют собою следующую систему трех уравнений второго порядка для функций от независимых переменных

Мы будем иметь в данном случае

Уравнение (9), после раскрытия соответствующего определителя, будет в данном случае иметь вид

В силу формулы (75) из [43] это уравнение дает нам следующие две возможные скорости перемещения поверхности разрыва:

В данном случае деформации считаются малыми и не имеет смысла говорить отдельно о скорости распространения, т. е. скорости перемещения по отношению к частицам материальной среды.

Рассмотрим теперь характер прерывности. Вводим коэффициенты прерывности производных второго порядка функций

В силу (28), уравнения (21) в данном случае имеют вид

Принимая во внимание, что

где n — направление нормали к поверхности (3), мы можем переписать предыдущие уравнения в виде

Введем вектор h с составляющими . Предыдущие уравнения могут быть записаны в виде

где величина проекции вектора h на нормаль к поверхности (3), или, в векторной форме:

где — единичный вектор нормали к поверхности (3). Если мы возьмем скорость перемещения то коэффициент при h будет равен нулю, и мы должны иметь , т. е. вектор h должен лежать в касательной плоскости к поверхности (3) (поперечная волна). Если же мы возьмем скорость то из (31) непосредственно следует, что h лишь численным множителем отличается от , т. е. h должен быть направлен по нормали к поверхности (3) (продольная волна). Отметим еще, что в уравнении (29) множитель, дающий скорость поперечной волны, стоит в квадрате. Это обстоятельство получит свое объяснение в следующем параграфе, где мы будем рассматривать уравнения теории упругости для анизотропной среды.

Выясним механический смысл вектора h. Положим, что по одну сторону от поверхности слабого разрыва имеется покой, т. е. равны нулю. В точках поверхности S функции и, и их производные первого порядка также равны нулю. С той стороны, где имеется движение, значения вторых производных и, на S будут определяться формулами (30), так как с другой стороны поверхности эти производные тождественно равны нулю, т. е.

причем мы считаем . Возьмем некоторую точку М на поверхности S и примем ее за начало координат в пространстве . Разложим в окрестности точки М в ряд Маклорена, доводя разложение до членов второй степени. Принимая во внимание предыдущие формулы и тот факт, что и ее частные производные первого порядка обращаются в нуль в точке М, получим приближенное равенство

причем значок нуль указывает, что надо брать значение производных в точке.

Принимая во внимание, что функция обращается в нуль в точке получим следующее разложение Маклорена, доведенное до членов первой степени:

и предыдущую формулу можно переписать в виде

Это приближенное равенство для вектора смещения и будет справедливым вблизи поверхности разрыва с той ее стороны, где имеет место движение.