119. Метод нижних и верхних функций.

Мы переходим сейчас к изложению метода Пуанкаре — Перрона. Пусть на плоскости имеется ограниченная область В и l ее граница, о которой мы не делаем пока никаких предположений. Положим, что на задана функция относительно которой мы предположим пока только, что она ограничена, т. е., что существуют два таких числа а и b, что

Назовем нижней функцией всякую функцию которая является непрерывной функцией в замкнутой области, субгармонической внутри области, и на контуре удовлетворяет условию . Аналогично верхняя функция должна быть супергармонической внутри и на контуре должна удовлетворять условию

Существует, очевидно, бесчисленное множество тех и других функций. Например, всякая постоянная, которая не превосходит а, будет нижней функцией. Пусть некоторая нижняя и

верхняя функции. Выражение как двух субгармонических функций, будет субгармонической функцией на Отсюда следует, что в В. Иначе говоря, всякая нижняя функция не больше всякой верхней в В. Из теорем I и I' непосредственно следует, что если нижние функции, то и функция определяемая формулой также нижняя функция, аналогично и для верхних функций и формулы (1752). Точно так же из теорем III и следует, что если f(М) — нижняя функция, то и функция нижняя функция, и аналогично, если - верхняя функция, то и верхняя функция.

Совершенно очевидно, что нижние функции ограничены сверху некоторым числом, а верхние ограничены снизу. Например, число , фигурирующее в неравенстве (177), есть верхняя функция, и мы имеем для любой нижней функции Совершенно аналогично для любой верхней функции Таким образом, множество значений всевозможных верхних функций в любой фиксированной точке лежащей внутри В, имеет точную нижнюю границу [I; 42], которую мы обозначим через . Это будет некоторая функция, определенная внутри В. Из следует, что а поскольку постоянная b есть верхняя функция, мы имеем т. е. построенная функция удовлетворяет условию Согласно определению точной нижней границы для каждой точки лежащей внутри В, существует такая последовательность верхних функций, что при Если существует такая верхняя функция что то мы можем, например, считать при любом значке n. Для разных точек последовательности могут быть разными. Докажем теорему:

Теорема. гармоническая внутри В функция.

Отметим, что дальше значки у функций мы будем писать не снизу, а сверху в скобках.

Предварительно докажем лемму:

Лемма. Если Р — произвольная фиксированная точка, лежащая внутри В, то существует монотонная последовательность верхних функций:

таких, что

Как мы видели выше, существует последовательность верхних функций таких, что Положим

Функции как мы видели выше, — непрерывные верхние функции. При возрастании увеличивается число функций

, из которых составляется минимум, и, следовательно, удовлетворяют условию (178). Из того, что функция есть точная нижняя граница верхних функций, и из (179) следует, что , а отсюда, в силу вытекает, что и Лемма доказана.

Замечание. Пусть К — любой круг с центром Р, лежащий внутри В. Построим функции как это указано в теореме . Поскольку на окружности круга К соблюдаются неравенства (178), то аналогичные неравенства соблюдаются и во всем замкнутом круге Вне круга К функции совпадают с и, следовательно, тоже удовлетворяют условию (178):

Кроме того, и и, в силу мы имеем и . Таким образом, мы можем считать, что функции фигурирующие в лемме, — гармонические внутри любого фиксированного круга с центром Р, принадлежащего В.

Переходим к доказательству теоремы. Достаточно показать, что гармоническая функция внутри любого круга лежащего внутри В. Пусть Р — центр этого круга. Строим, согласно лемме и замечанию к ней, функции гармонические внутри К. Эти функции имеют предел в точке Р. Согласно теореме Гарнака эти функции стремятся во всех точках внутри К к некоторой гармонической функции

причем сходимость равномерная во всяком замкнутом круге К с центром Р, лежащем внутри . Докажем, что внутри К. Этим теорема будет доказана. Доказываем от обратного. Пусть в некоторой точке лежащей внутри мы имеем Поскольку есть точная нижняя граница значений верхних функций в точке мы должны иметь Тем самым должна существовать верхняя функция такая, что Пусть круг с центром Р, на окружности которого находится точка Составим верхние функции:

причем

Поскольку равномерно в замкнутом круге К сходится к мы можем утверждать, что и равномерно

сходится там же к предельной функции:

Тем самым равномерная сходимость имеет место на окружности круга К и мы можем утверждать, что и гармонические внутри К функции сходятся равномерно в замкнутом круге к некоторой гармонической функции . Поскольку мы имеем и вообще во всех точках окружности круга К мы имеем Таким образом, по теореме о среднем для гармонических функций . Но и, следовательно, . В точке Р функция предел верхних функций и неравенство противоречит тому, что есть точная нижняя граница значений верхних функций в точке Р. Таким образом, теорема о том, что гармоническая внутри В функция, доказана.

В трехмерном случае доказательство буквально такое же. Таким образом, при любой заданной на границе ограниченной функции строится указанным выше методом функция гармоническая внутри В. Вместо того, чтобы строить точную нижнюю границу верхних функций, мы могли бы строить точную верхнюю границу нижних функций. Если есть непрерывная на границе функция, то можно показать, что совпадает с . В дальнейшем мы всегда будем говорить о точной нижней границе верхних функций.

Как мы уже упоминали, все построение без изменения переносится на трехмерный случай. Функцию называют обобщенным решением задачи Дирихле с предельными значениями Смысл этого выяснится в следующем параграфе.

Замечание. Указанное выше обобщенное решение задачи Дирихле при непрерывности функции на границе I можно построить еще одним способом, который мы сейчас укажем. Продолжим функцию на всю плоскость, сохраняя ее непрерывность. Положим далее, что есть последовательность областей, которые лежат вместе со своими границами внутри В и стремятся к В, так что всякая точка лежащая внутри В, находится внутри всех областей начиная с некоторого номера n. Области могут быть, например, составленными из конечного числа кругов. Положим, что для областей мы умеем решать задачу Дирихле с непрерывными значениями на

Пусть решение задачи Дирихле для причем предельные значения на задаются как продолжение функции о котором мы говорили. Можно доказать, что при

беспредельном возрастании функции стромятся к построенному выше обобщенному решению задачи Дирихле, причем это стремление равномерное во всякой замкнутой области, лежащей внутри В. Таким образом, оказывается, предел не зависит ни от способа продолжения от выбора областей Важны лишь те свойства этих областей, о которых говорилось выше. Доказательство этих фактов можно найти в обзорной статье М. В. Келдыша (УМН, 1941, 8).