85. Оправдание метода Фурье для уравнения теплопроводности.

Рассмотрим уравнение с частными производными:

которое соответствует распространению тепла в неоднородном стержне с учетом лучеиспускания с поверхности стержня. Считая будем искать решение уравнения (70) при начальном условии

и предельных условиях

Применяя метод Фурье, получим решение задачи в виде

где — собственные значения и собственные функции уравнений

при предельных условиях

и коэффициенты Фурье (59) функции Будем считать, что и что имеет непрерывную производную в и удовлетворяет предельным условиям (72). Отметим, что все положительны, ибо Покажем, что функция (73) удовлетворяет всем условиям задачи, т. е. удовлетворяет (71), (72), а также уравнению (70) при .

Как мы доказали, ряд (73) регулярно сходится в промежутке . Принимая во внимание, что можем утверждать, что ряд (73) сходится абсолютно и равномерно при . Тем самым его сумма есть непрерывная функция при указанных значениях аргументов, т. е.

Этим доказано выполнение начального условия (71). Предельные условия (72) выполняются в силу того, что все функции удовлетворяют условиям (72). Остается проверить уравнение (70) при Каждый член ряда (73) удовлетворяет уравнению (70) по самому его построению, и нам достаточно показать, что ряд (73) можно почленно дифференцировать один раз по t и два раза по а для этого достаточно показать, что ряды

равномерно сходятся при t а, где а — любое положительное число, и при а . Так как при , то при а, т. е. существует такое N (не зависящее от t), что при и . Отсюда, принимая во внимание равномерную сходимость ряда получаем равномерную сходимость ряда при .

Совёршенно так же доказывается возможность почленного дифференцирования ряда (73) по t сколько угодно раз при . Для исследования следующих рядов напишем выражение для пользуясь (7):

откуда

и

Принимая во внимание равномерную, относительно х, сходимость ряда в промежутке при мы можем утверждать, что ряды

равномерно сходятся в промежутке откуда, в силу (77), следует и равномерная сходимость ряда Остается исследовать ряд (763). Для этого воспользуемся уравнением (56) для собственных функций. Из него следует:

и отсюда, в силу равномерной сходимости рядов в промежутке при любом следует и равномерная сходимость ряда (763). Тем самым доказано, что функция определяемая формулой (73), имеет соответствующие частные производные и удовлетворяет уравнению (70) при Мы получаем таким образом следующую теорему:

Теорема. Если функция входящая в начальное условие, имеет непрерывную производную в промежутке и удовлетворяет предельным условиям (72), то функция определяемая формулой (73), удовлетворяет начальному условию (71), предельным условиям (72), а также уравнению (70) при Возможно почленное дифференцирование ряда по t любое число раз и по два раза при t > 0.