166. Метод Фурье для уравнений гиперболического типа.

Здесь мы докажем разрешимость первой начально-краевой задачи для гипербоглческих уравнений вида

Предположим, что для эллиптической части этого уравнения и области В выполнены же условия, что и в теореме и, следовательно, система собственных функций и собственных значений оператора L при условии обладает свойствами, описанными в [150]. Предположим пока, что Это гарантирует отрицательность всех так что удобно Я обозначить через Все решения уравнения (163), имеющие вид и удовлетворяющие краевому условию (157), исчерпываются функциями где

и произвольные постоянные, — собственная функция, отвечающая собственному значению

Ввиду этого, естественно решение задачи (163), (156), (157) искать в виде ряда

определяя коэффициенты из начальных условий (156), Первое из этих условий дает выражение для

а второе — для

Формально такой ряд удовлетворяет всем требованиям нашей задачи. Наша цель — исследовать его сходимость, в частности, показать, что его можно почленно дифференцировать два раза по . Последнее необходимо, чтобы оправдать справедливость равенств

т. е. убедиться, что сумма ряда (164) удовлетворяет уравнению (163). Мы докажем, что ряд (164) и ряды, полученные его почленным дифференцированием по до двух раз включительно, сходятся в норме равномерно относительно Тем самым будет показано, что сумма ряда (164) удовлетворяет уравнению (163) при почти всех из (и даже более: при всех t из для почти всех из В). Начальные условия будут выполняться в следующем смысле:

при . Граничное же условие (157) будет гарантировано принадлежностью при всех . Все это будет иметь место, если . Действительно как доказано в [150], функция разлагается в ряд Фурье сходящийся к ней в норме , причем

а функция разлагается в ряд Фурье сходящийся к ней в норме и

С другой стороны,

и

Из сопоставления оценок (171) — (173) с (169) и (170) убеждаемся в справедливости высказанных нами выше утверждений о сходимости ряда (164) и рядов, полученных его почленным дифференцированием по и . При этом надо иметь в виду, что нормы эквивалентны исходным нормам пространств соответственно. Принадлежность при всех суммы ряда (164) к , а ее производных следует из доказанной сходимости и того, что отрезки этих рядов суть элементы

Итак, доказана теорема:

Теорема 1. Пусть для коэффициентов М и области выполнены условия теоремы 2 [148] и . Тогда, если то сумма ряда (164) с коэффициентами и определяемыми формулами (165) и (166), есть решение задачи (163), (156), (157), Она при всех

принадлезкит и непрерывно зависит от t в норме этого пространства. Ее производные суть элементы непрерывно зависящие от в нормах этих пространств. Ряды, полученные почленным дифференцированием ряда (164) по и t до двух раз включительно, сходятся в равномерно относительно .

Замечание 1. Если условие отбросить, то сохраняются все утверждения теоремы, только несколько первых собственных значений могут оказаться положительными или равными нулю. Соответствующие им члены будут иметь вид или На сходимость ряда (164) наличие нескольких таких членов влияния не оказывают: их сумму можно выделить из (164) в виде отдельного слагаемого.

Замечание 2. Для гиперболических уравнений задача Коши и начально-краевые задачи одинаково решаются как в сторону возрастающего, так и убывающего времени t. Ряд (164) сходится указанным образом и при .

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение

где М — то же, что и в (163). Найдем его решение, соответствую однородным начальным и - граничному условиям

Для этого разложим f в ряд по

и найдем для уравнения

решения вида удовлетворяющие условиям (175). Положим тогда для из (176) следуем уравнение

Его решением, равным нулю вместе с производной при ляется, как известно, функция

где, как и выше, . Сумма ряда

формально удовлетворяет всем требованиям задачи (174), (175). Для оправдания формулы (179) надо проверить, что ряд (179). сходится так же, как ряд (164) в теореме 1. Убедимся, что справедливо следующее утверждение:

Теорема 2. Пусть относительно М и В выполнены те же предположения, что и в теореме 1. Тогда, если то ряд (179) сходится в норме равномерно по . Если, к тому же, имеет обобщенную производную то ряд (179) и ряды, полученные его почленным дифференцированием один и два раза по и t, сходятся в равномерно по . В последнем случае сумма ряда и есть обобщенное решение задачи (174), (175) из класса даже несколько лучше).

Утверждения теоремы вытекают из нижеследующих соотношений и оценок:

а

Если к тому же , то

Отсюда

и потому

Из условий же следует, что и

Теорема 2 доказана.

При увеличении гладкости коэффициентов , функций и границы В, а также при повышении порядка согласования начальных и граничных условий и уравнения на множестве точек улучшается сходимость рядов (164), (179). Мы не будем приводить здесь точные формулировки, касающиеся этой зависимости, а отошлем ко второй главе книги О. А. Ладыженской «Смешанная задача для гиперболического уравнения» (1953), из которой взят и изложенный в этом пункте материал. Ею была исследована сходимость рядов (164), (179) во всех пространствах причем при условиях в определенном смысле необходимых. Это было сделано не только для первого, но и для второго и третьего краевых условий. Из сходимости в и теоремы вложения вытекает соответствующая сходимость в нормах других пространств, в частности, при равномерная сходимость. В указанной книге дано обоснование других методов решения начально-краевых задач для гиперболических уравнений, в том числе метода конечных разностей для уравнений (154) общего вида. Для решения этих задач можно использовать также метод Галеркина и «функциональный» метод, предложенный, О. А. Ладыженской в заметке «О разрешимости основных краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов» (ДАН СССР, 1954, 97, № 3, с. 395—398).

В связи с этим см. также работы: Ладыженская О. А, О решении нестационарных операторных уравнений. — Матем сб., 1956, 39, № 4, с. 491—524; Ладыженская О. А. О нестационарных операторных уравнениях и их приложениях к линейным задачам математической физики. — Матем. сб., 1958, 45, № 2, с. 123—158; Ладыженская О. А., Вишик М. И. Краевые задачи для уравнений в частных производных и некоторых классов операторных уравнений. — УМН, 1956, 11, № 6, с. 41—97.

Заметим наконец, что из разрешимости первой начальнокраевой задачи для гиперболических уравнений и конечности области зависимости решений задачи Кошй (см. [56]) нетрудно заключить о разрешимости задачи Коши для гиперболических уравнений.