99. Прямое значение нормальной производной.

Обозначим через прямое значение нормальной производной на

Мы видели, что непрерывная функция положения точки на . Докажем сейчас теорему, которая уточнит это свойство . Эта теорема была впервые доказана А. М. Ляпуновым.

Теорема. При непрерывной плотности функция удовлетворяет условию

где В и — поаожительные постоянные и

Будем v дальнейшем условие (59) называть условием Липшица, Если больше некоторой положительной величины, то мы можем, при любом заданном положительном удовлетворить этому неравенству путем соответствующего выбора постоянной В. Действительно, функция как мы знаем, непрерывна на и тем самым ограничена, т. е. и если то, взяв мы получим, очевидно, неравенство (59) при Если при мы получим в неравенстве (59) другое значение В, то, взяв наибольшее из двух полученных значений В, сможем написать (59) при всех значениях Мы можем, таким образом, считать, например, что Мы имеем

где векторы их длины, и, следовательно, принимая во внимание (22), получим

Вырежем часть поверхности S при помощи кругового цилиндра, ось которого есть нормаль к S и и радиус основания Разобьем интеграл по S на две часги, по и по

Вводя скалярное произведение векторов, можем написать:

где, как всегда, единичные векторы внешней нормали в точках

Из написанного выше следует, что

Производим оценку отдельных слагаемых:

Образуя треугольник со сторонами получим , где угол, образованный направлениями по и П]. Принимая во внимание условие (3), мы можем написать.

где а — постоянная Далее,

где — координата точки в местной системе координат с началом в точке Принимая во внимание (15), будем иметь

Наконец, если точка интегрирования N достаточно близка к , то в силу (15) мы имеем , как и в отношении неравенства (59), мы можем считать, что и это последнее неравенство верно для всех значений . Подставляя все полученные оценки в (62), будем иметь

где — наибольшая из постоянных а и с Из треугольника Но при интегрировании мы имеем и следовательно, . Пользуясь этими неравенствами, а также неравенством можем вместо написать:

Возвращаясь ко второй из формул (61), получаем

где . Радиус цилиндра, которым вырезалась часть а поверхности был взят равным . Возьмем цилиндр с той же осью и с фиксированным радиусом . Он вырежет часть поверхности S, причем содержит внутри себя.

Мы имеем:

Во втором интеграле и, следовательно,

При интегрировании по мы можем свести интегрирование на касательную в точке плоскость и получим путем обычных оценок

Подставляя в (64), получим оценку вида

где постоянные. Эту оценку можно заменить оценкой вида:

если взять положительное меньшим а.

Переходим к оценке А Мы имеем

Применяя обычные оценки, получим

где постоянная. Для оценки первого из интегралов (65) проведем сферу с центром и радиусом причем отметим, что Она вырежет из S кусок содержащий кусок Эта часть имеет явное уравнение в местных координатах с центром и мы можем применить на этом куске обычные оценки, сводя интегрирование на касательную в точке NL плоскость Область интегрирования будет представлять собою часть круга с центром и радиусом Интегрируя по всему кругу, получим оценку

Подставляя все полученные нами оценки в (60), будем иметь

и окончательно можем написать (59), где Р — положительное число, меньшее а.