Главная > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

35. Производные высших порядков.

В предыдущем параграфе мы рассмотрели вопрос об определении производных второго порядка на заданной полосе. Перейдем теперь к определению производных высших порядков. Положим, что мы имеем дело с тем случаем, когда определитель (31) отличен от нуля. Возьмем

полный дифференциал от первых двух из уравнений (30) и про дифференцируем заданное уравнение (28) по и по у. Таким образом мы будем иметь четыре уравнения первой степени для определения четырех производных третьего порядка от искомой функции и на заданной полосе:

Определитель этой системы имеет вид

Можно показать, что этот определитель равен квадрату определителя (31), т. е. тоже отличен от нуля. Действительно, обозначая через у какой-нибудь корень уравнения

прибавим к элементам первого столбца определителя элементы второго столбца, умноженные на у, третьего столбца, умноженные на и четвертого столбца, умноженные на Элементы первого столбца при этом окажутся следующими

откуда видно, что являющийся однородным полиномом четвертой степени относительно делится на Коэффициент при в выражении равен и, если мы обозначим через корни уравнения (37), то можем написать:

или, принимая во внимание свойство корней квадратного уравнения:

При доказательстве мы предполагали, что уравнение (37) имеет различные корни. Но если равенство справедливо при таком предположении, то оно будет справедлцво и в том случае, когда уравнение (37) имеет равные корни. Чтобы убедиться в этом, достаточно ресколько изменить коэффициенты так, чтобы уравнение (37) имело различные корни, и затем в равенстве перейти к пределу, устремляя измененные значения

коэффициентов к их исходным значениям, при которых уравнение (37) имеет равные корни.

Совершенно так же мы можем получить пять уравнений первой степени для определения пяти производных четвертого порядка, и определитель этой системы также окажется отличным от нуля и т. д. Предположим, что соответствующие функции будут аналитическими и регулярными. Таким образом, так же, как и в случае специальных данных Коши и уравнения, разрешенного относительно [29], мы можем и в более общем случае, предполагая определитель отличным от нуля, вычислять на заданной полосе производные всех порядков. Составив соответствующий ряд Тэйлора, мы могли бы доказать, как и в [28], его сходимость.

Переходим теперь к тому случаю, когда данная полоса оказывается характеристической полосой. Мы ограничимся при этом только рассмотрением специальных начальных данных Коши (35). Сами эти начальные данные дают нам s и t при и остается определить только . Но при подстановке полученных начальных данных в уравнение (28), мы, в силу (36), получаем тождество, и производная при на первый взгляд остается совершенно неопределенной. Продифференцируем обе части уравнения (28) по

причем в круглых скобках с точками стоят выражения, совершенно аналогичные тому выражению, которое стоит в скобке, содержащей производные от а. Если мы в написанное уравнение подставим начальные данные (35) и уже известные производные второго порядка:

то, обозначая мы получим для искомой функции как нетрудно проверить, уравнение Риккатти, т. е. уравнение вида

где — известные функции от у. Если мы возьмем какое-нибудь решение этого уравнения, то тем самым будем знать при а следовательно, будем знать и все производные третьего порядка при кроме иххх. Для определения начального значения этой производной мы должны продифференцировать уравнение (38) по и внести в полученное таким образом уравнение все уже вычисленные начальные данные.

Таким образом, мы придем для искомой функции к линейному дифференциальному уравнению:

Этот процесс может продолжаться и дальше. При интегрировании упомянутого выше уравнения Риккатти и последующих линейных уравнений вводятся все новые и новые произвольные постоянные, но вся трудность задачи заключается в том, чтобы подобрать значения этих постоянных так, чтобы полученный ряд Тейлора был сходящимся. Можно доказать, на чем мы не останавливаемся, что для уравнения гиперболического типа это может быть сделано бесчисленным множеством способов, т. е. через характеристическую полосу действительно проходит бесчисленное множество интегральных поверхностей. Условия (36) или, в более общем случае, (34) представляют собою, таким образом, необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять начальные данные для того, чтобы существовали интегральные поверхности, содержащие данную характеристическую полосу.

В качестве примера рассмотрим простейшее уравнение второго порядка параболического типа:

В данном случае а и уравнение (32) дает , т. е. . Вдоль всякой линии мы должны иметь некоторую особенность при попытке решения задачи Коши. Положим, что мы имеем специальные данные Коши (35). Полагая в уравнения получим откуда мы видим, что функция вполне определяется заданием функции Это соответствует необходимости выполнения второго из условий (36). Таким образом, в данном случае достаточно задавать лишь первое из условий (35).

Дифференцируя уравнение (39) по и полагая мы вполне определяем начальное значение: Имея это начальное значение, дифференцируя (39) два раза по и полагая мы получим начальное значение при производной третьего порядка по и т. д. В данном случае начальные значения производных по определяются единственным образом, а упомянутые выше дифференциальные уравнения вырождаются в конечные соотношения. Определив начальные значения лроизводных всех порядков по при мы можем построить соответствующий ряд Тэйлора. Оказывается, что он будет сходящимся в окрестности только в том случае, если есть целая функция, удовлетворяющая некоторому

дополнительному условию Напомним, что при рассмотрении задачи распространения тепла в неограниченном стержне мы построили рещеиие уравнения (39), удовлетворяющее первому из условий (35), в виде определенного интеграла. При этом, конечно, не надо было предполагать, что есть целая функция. Для перехода к прежним обозначениям из [II; 214] надо в уравнении (39) заменить на и у на и в уравнении из считать

Если мы положим получим, очевидно, решение уравнения (39), равное тождественно нулю. Покажем, что существует еще элементарное решение уравнения (39), удовлетворяющее с исключением точки тому же начальному условию Положим, что

Функция и все ее производные стремятся к нулю при стремлении больших значений), т. е. функция, определяемая формулами и , и все ее производные будут сохранять непрерывность при переходе через прямую , а на самой этой прямой функция и и все ее производные обращаются в нуль. Исключение представляет лишь точка в которой построенная функция имеет особенность. Непосредственным дифференцированием убеждаемся в том, что построенная функция удовлетворяет уравнению (39). Во всякой точке прямой построенная функция уже не будет, конечно, аналитической, регулярной функцией от ибо слева от этой прямой она тождественно равна нулю, а справа отлична от нуля. Таким образом, построенная функция не представима рядом Тейлора по целым положительным степеням Решение постоянным множителем отличается от решения, дающего элементарный источник тепла [II; 214].

1
Оглавление
email@scask.ru