80. Обобщенная функция Грина.

Мы обращаемся теперь к рассмотрению того случая, когда уравнение (1) с предельными условиями (2) имеет собственное значение , т. е. однородное уравнение имеет некоторое решение удовлетворяющее предельным условиям (2). Это решение мы можем считать нормированным, что мы и будем делать в дальнейшем. В данном случае нам не удастся построить функцию Грина, удовлетворяющую всем четырем условиям, указанным в [73], и мы внесем некоторое изменение в само определение функции Грина. Удерживая по-прежнему условие, касающееся непрерывности самой функции, разрывности ее первой производной при и удовлетворения предельным условиям, мы потребуем, чтобы функция в каждом из промежутков удовлетворяла уже не однородному уравнению а уравнению с правой частью:

Если есть некоторое решение этого уравнения, удовлетворяющее предельным условиям, то, поскольку удовлетворяет однородному уравнению и предельным условиям, сумма при произвольном постоянном Q также будет удовлетворять уравнению (28) и предельным условиям; и для определения произвольной постоянной с мы введем еще новое до полнительное условие, а именно условие ортогональности функции

к функции

Наличие правой части в уравнении (28) имеет простой физический смысл. Если есть собственное значение задачи, то мы имеем резонанс при частоте, равной нулю, и нам не удается получить конечное статическое отклонение при наличии сосредоточенной силы. Чтобы получить такое отклонение, мы должны, кроме сосредоточенной силы, добавить непрерывно распределенную силу, что и характеризуется добавлением правой части в уравнении (28).

Будем строить обобщенную функцию Грина аналогично тому, как это мы сделали в [74]. Пусть есть какое-либо решение неоднородного уравнения

и — решение соответствующего однородного уравнения, линейно-независимое с и такое, что

Вспоминая, что общий интеграл неоднородного уравнения есть сумма его решения и общего интеграла однородного уравнения, мы должны положить:

Эта функция должна удовлетворять предельным условиям (2). Принимая во внимание, что удовлетворяет этим условиям, получаем два равенства:

из которых определяются . Коэффициенты при отличны от нуля, так как линейно-независимое с не может удовлетворять ни одному из условий (2) [74]. Условия непрерывности в точке и разрыва производной в этой точке приводят; к следующим двум равенствам:

которые могут быть, в силу (31), переписаны в виде

Остается еще удовлетворить условию (29). Постоянные уже определены формулами (33). Первое из равенств (34) дает . Подставляя в первую из формул (32), мы сможем определить из условия определится по только что написанной формуле. Все постоянные уже определе без использования второго из равенств (34), и нам остается проверить тот факт, что определенные по формулам (33), удовлетворяют второму из равенств (34).

Напишем для этого формулу (14):

Проинтегрируем обе части этого равенства по основному промежутку - . Принимая во внимание равенство уравнение (30) и нормированность функции , получим

Второе из равенств (34), которое нам надо проверить, может быть записано, в силу (33), в виде

Для мы имеем предельные условия:

Написав равенство (31) при сможем определить из полученных равенств и равенств Подставляя полученные выражения в доказанное равенство (35), придем к равенству (36). Проделаем вычисления для предельных условий: т. е. для того случая, когда . При этом формула (35) перепишется в виде Формула (31) при даст , т. е.

и подставляя в предыдущую формулу, получим

а это и есть равенство (36) в случае .

Для доказательства симметричности обобщенной функции Грина мы напишем два уравнения:

Умножая первое на второе на вычитаем почленно и интегрируем по основному промежутку. Пользуясь

формулой Грина, предельными условиями и условием (29), мы придем к равенству

откуда и получится непосредственно, как и раньше, Отметим, что при интегрировании по основному промежутку нам надо так же, как и в [76], разбить этот промежуток на три части.

Обратимся теперь к рассмотрению неоднородного уравнения

где — заданная непрерывная функция, ортогональная к . Уравнение (38) может иметь только одно решение, удовлетворяющее предельным условиям и ортогональное к Действительно, если бы их было два, то их разность должна была бы удовлетворять однородному уравнению и предельным условиям, т. е. должна была бы иметь вид и не могла бы быть ортогональной к . Покажем теперь, что это единственное ортогональное к решение уравнения (38) определяется формулой

Действительно, разбивая промежуток интегрирования на части мы докажем, как и выше в [75], что

Пользуясь уравнением (28), мы получим отсюда

а из этой формулы непосредственно вытекает (38), поскольку, по условию, ортогональна к . Итак, если ортогональна к то уравнение (38) имеет единственное решение, удовлетворяющее предельным условиям (2) и ортогональное к и это решение определяется формулой (39).

Если любая функция, ортогональная к удовлетворяющая предельным условиям и имеющая непрерывные производные до второго порядка, то, полагая мы можем выразить формулой (39). Для доказательства этого утверждения нам достаточно убедиться в том, что построенная нами функция ортогнальна к . Для этого напишем формулу Грина (14) для и . Принимая во внимание, что и предельные условия для

мы путем интегрирования упомянутой формулы Грина по основному промежутку и обнаружим ортогональность функций Отметим еще, что формула (39) при любом выборе непрерывной функции дает функцию, ортогональную к поскольку ядро обладает этим свойством.

Обратимся теперь к предельной задаче для уравнения

с предельными условиями (2). Всякая собственная функция этой задачи, отличная от т. е. соответствующая собственному значению, отличному от нуля, должна быть ортогональной к и, принимая во внимание все сказанное выше, мы видим, что поставленная предельная задача (с исключением функции равносильна интегральному уравнению

Обратимся теперь к теореме разложения по собственным функциям для написанного уравнения. Нам надо выяснить вопрос о представимости функции через ядро. Выше мы видели, что всякая функция, имеющая непрерывные производные до второго порядка, удовлетворяющая предельным условиям и ортогональная к представима через ядро, и, следовательно, для всякой такой функции мы будем иметь абсолютно и равномерно сходящееся разложение в ряд Фурье по собственным функциям уравнения (41). Отметим, что дополнительное условие ортогональности разлагаемой функции к является необходимым, поскольку все собственные функции уравнения (41) ортогональны к Из последнего факта непосредственно вытекает, что ядро уравнения (41) не будет полным. В указанной выше теореме разложения, как всегда, можно непрерывность второй производной заменить ее кусочной непрерывностью.

Отметим еще другой, более элементарный метод, при помощи которого можно рассмотреть тот случай, когда есть собственное значение. Уравнение (41) будет иметь собственное значение, наименьшее по абсолютной величине, и пусть — его абсолютная величина. Внутри промежутка будет иметься единственное собственное значение нашей предельной задач возьмем внутри указанного промежутка какое-нибудь значение отличное от нуля, и введем вместо в уравнение (40) новый параметр полагая При новом выборе параметра уравнение (16) будет иметь вид

причем, в силу сказанного выше, значение уже не будет собственным значением, и, следовательно, будет иметь место вся теория, построенная на применении обычной функции Грина. В частности, собственные функции задачи будут образовывать замкнутую систему. Отсюда, между прочим, непосредственно вытекает, что если мы к собственным функциям уравнения (41) присоединим получится замкнутая система. Введение нового параметра, как мы увидим на дальнейшем примере, может осложнить интегрирование того уравнения, которое служит для определения обычной функции Грина. В следующем параграфе мы применим обобщенную функцию Грина к рассмотрению предельной задачи, приводящей к полиномам Лежандра. В этом случае на обоих концах промежутка функция обращается в нуль, и роль предельных условий играет требование конечности решения на концах промежутка. Все сказанное останется справедливым и в этом случае.

Для уравнения (1) с предельным условием (2) собственному значению может соответствовать, как мы видели, только одна собственная функция. Для предельных условий периодического типа, например собственных функций может быть и две. Для уравнений выше второго порядка, о которых мы будем говорить ниже, их может быть также больше одной. В этих случаях можно строить функцию Грина аналогично предыдущему. При этом в правой части уравнения (28) надо писать сумму, распространенную на все собственные функции, соответствующие собственному значению причем эти функции считаются взаимно-ортогональными и нормированными.