§ 3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

63. Характеристики систем уравнений.

Мы переходим теперь к исследованию систем уравнений с частными производными. Для аналитического случая вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши был изложен нами выше [28]. В неаналитическом случае этот вопрос представляет гораздо большие трудности по сравнению с одним уравнением. Весьма общие результаты в этом направлении были получены И. Г. Петровским в его работах «О проблеме Коши для систем уравнений с частными производными» (Матем. сб., 1937, 2, № 5) и «О проблеме Коши для системы линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций» (Бюлл. МГУ, 1938). Некоторые из относящихся сюда результатов изложены в книге: Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Физматгиз, 1961. Там же указана литература вопроса и обзор результатов.

Мы ограничимся немногим в отношении систем уравнений и начнем с изложения теории характеристик и связанного с этой теорией вопроса о прерывных решениях. При изложении теории слабых разрывов и примеров мы следуем книге Леви-Чивита «Теория характеристик и распространение волн».

Рассмотрим систему

Поскольку эта система есть система первого порядка, данные Коши сводятся к заданию начальных значений функций на данной поверхности пространства Положим, что поверхность, несущая на себе эти данные, есть плоскость т. е. что мы имеем специальные данные Коши:

Эти начальные данные дают возможность вычислить на плоскости все производные первого порядка, кроме производных Если система (1) при подстановке и других Начальных данных (2) разрешима относительно то мы имеем на значения всех производных первого порядка. В противном случае мы будем называть плоскость характеристической. Вообще, некоторая поверхность

вместе с определенными на ней начальными данными называется характеристической, если эти начальные данные совместно с системой (1) не дают возможности однозначного определения на ней всех производных первого порядка. В том случае, когда коэффициенты содержат только нам неважно знать начальные данные функций на поверхности (3). Для того, чтобы получить те условия, которым должна удовлетворять характеристическая поверхность (3), введем, как и в [40], вместо новые независимые переменные по формулам

где функций выбраны так, чтобы написанные формулы были разрешимы относительно . Выражая производные по старым переменным через производные по новым переменным, мы получим

Подставим эти выражения в систему (1), причем выпишем только те члены, которые содержат производные

В новых переменных мы имеем данные Коши в специальной форме, а именно эти данные относятся к плоскости . Эта плоскость будет характеристической, если последняя система не дает определенных значений для производных т. е. если определитель, образованный из коэффициентов равен нулю. Вводя для краткости обозначение

мы получаем следующее уравнение первого порядка, которому должна удовлетворять всякая характеристическая поверхность системы (1):

Это уравнение первого порядка будет степени относительно производных Оно вполне аналогично уравнению из (40)

Уравнение (6) должно быть удовлетворено в силу (3). Если мы потребуем, чтобы оно было удовлетворено тождественно, т. е. если мы будем рассматривать его как обычное уравнение первого порядка для функции то мы будем иметь семейство характеристических поверхностей системы (1). Можно показать что всякая характеристическая поверхность может быть включена в такое семейство.

Если функция такова, что левая часть уравнения (6) отлична от нуля на поверхности то, вводя замену переменных (4), мы можем решить преобразованную систему относительно

Если в левой части уравнения (6) заменить на то получим уравнение степени для составляющих вектора

, которое определяет в каждой точке характеристические направления нормали. В каждой точке характеристической поверхности нормаль имеет характеристическое направление.

Совершенно аналогично мы можем рассмотреть и систему уравнений второго порядка:

причем, как всегда, мы можем считать . Если мы имеем специальные данные Коши на гиперплоскости

то мы знаем на этой гиперплоскости все производные первого порядка и все производные второго порядка, кроме Подставляя начальные данные в коэффициенты системы и приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов при мы получим условие того, что гиперплоскость является характеристической поверхностью. В общем случае на поверхности (3) задаются сами функции и их производные первого порядка, и мы должны найти условие того, что система (7) совместно с начальными данными не дает однозначного определения производных второго порядка. Вводим опять вместо новые переменные по формулам (4). Выражения производных по старым переменным через производные по новым переменным будут:

Подставляя в (7) и выписывая лишь члены, содержащие мы получим в новых независимых переменных систему

В новых переменных начальные данные относятся к плоскости и мы должны написать условие того, что последняя

система не дает однозначной возможности определения производных Вводя обозначения, аналогичные предыдущим:

мы можем записать это условие в виде

Левая часть этого уравнения первого порядка является одно родным полиномом степени относительно производных

Возвратимся к системам первого порядка. Если в левой части уравнения (6) заменить на а, то мы получим уравнение

где Ф — однородный полином степени аргументов с коэффициентами, зависящими от . Если в некоторой области D пространства левая часть уравнения (10) обращается в нуль лишь при то говорят, что система (1) эллиптического типа в области D. Аналогично определяется эллиптический тип и для системы (7). Термин гиперболический тип применяют к системам в несколько разных смыслах. Мы вернемся еще к этому вопросу для случая двух независимых переменных. Если в некоторой точке или в некоторой области D можно соответствующим линейным преобразованием переменных свести однородный полином к меньшему числу переменных, то говорят, что система (1) параболически вырожденная в упомянутой точке или области

Если коэффициенты системы (1) содержат функции (система квазилинейна), то, подставляя в эти коэффициенты какие-либо заданные на поверхности функции мы можем составить уравнение (6) и решить вопрос о том, будет ли порерхность характеристической. Аналогичное замечание относится и к системе (7), если ее коэффициенты содержат функции и их частные производные первого порядка (ср. [30]). Отметим, что систему (7) можно привести к системе

уравнений первого порядка, если ввести новых функций:

Производя в уравнениях (7) замену получим уравнений первого порядка относительно функций и К этим уравнениям добавится еще уравнений .