62. Уравнения эллиптического типа.

До сих пор при исследовании задачи Коши мы рассматривали уравнения гиперболического типа. Остановимся теперь на простейшем уравнении эллиптического типа, а именно на уравнении Лапласа с двумя независимыми переменными:

Мы знаем, что любое решение этого уравнения есть вещественная часть некоторой аналитической функции: Рассмотрим решение уравнения (239) в окрестности некоторой точки, которую мы можем принять за начало координат. Считая, что и имеет в этой точке и ее окрестности непрерывные производные до второго порядка, будем иметь для разложение в степенной ряд:

сходящийся в некотором круге причем суть некоторые комплексные числа. Отделяя в членах ряда

вещественную часть, мы получим для и представление в виде ряда по однородным полиномам от

и этот ряд абсолютно сходится при условии Запишем последний ряд в виде двойного ряда по целым положительным степеням

и покажем, что он также будет сходящимся, если вещественные значения и у достаточно близки к нулю. Действительно, абсолютные значения членов ряда (241) не превосходят членов двойного ряда, который получается из ряда

Но

сходится при и отсюда непосредственно следует, что ряд (241) абсолютно сходится при условии . В этом ряде мы можем группировать члены, и получим, таким образом, ряд (240), т. е. сумма ряда (241) равна Таким образом, всякое решение уравнения (239) представимо степенным рядом в окрестности любой точки если в этой точке рассматриваемое решение не имеет особенности, т. е., проще говоря, всякое решение уравнения (239) есть аналитическая функция . Отсюда непосредственно следует, что гармоническая функция имеет производные всех порядков и что если две гармонические функции совпадают на некотором двумерном участке плоскости то они совпадают везде.

Заметим, что совершенно иную картину мы имеем для уравнения гиперболического типа:

где а — заданное вещественное число. Это равнение имеет очевидное решение [II; 177]:

где произвольная функция, имеющая непрерывные производные до второго порядка. В теории функций вещественного переменного доказывается, что можно построить имеющую непрерывные первую и вторую производные и не имеющую ни при каком значении t производной третьего порядка. Для такого решение (242) не будет иметь ни при каких производных третьего порядка, и, тем самым, конечно, не может быть аналитической функцией (х,у).

Для уравнения (239) может быть поставлена задача Коши. Например, можно искать решение уравнения (239), если задана и и ее производная их при

где заданные аналитические функции у [29]. Эта задача будет иметь в окрестности одно определенное решение. Однако задача эта, как говорят, некорректна: ее решения могут сильно меняться при малых изменениях данных Коши. Действительно, возьмем

где — заданное положительное число. Нетрудно проверить, что решение уравнения (239), удовлетворяющее этим начальным данным, будет:

Пусть . При этом начальное данное стремится к нулю равномерно относительно у, ибо а решение (246) стремится к бесконечности, если отлично от кратного . Действительно, если, например, то а отношение при так как показательная функция растет быстрее, чем Таким образом, при стремлении начальных данных к нулю само решение будет беспредельно возрастать. Иначе говоря, из приведенного примера мы видим, что решение задачи Коши для уравнения (239) не обладает свойством непрерывной зависимости от начальных данных. Для уравнения гиперболического типа такая непрерывная зависимость, в том или ином смысле, всегда будет иметь место (см. [57], [58]).

Мы доказали аналитичность решений уравнения Лапласа для случая двух независимых переменных. То же самоа будет

иметь место и в случае трех независимых переменных

Наметим доказательство этого утверждения. Пусть имеется решение этого уравнения с непрерывными производными до второго порядка в начале координат и его окрестности. Функция и будет, таким образом, гармонической функцией в некоторой замкнутой сфере с центром в начале и радиусом R. Мы можем выразить значение этой функции в любой точке , находящейся внутри сферы, через ее значение в точках на поверхности сферы по формуле [II; 207]:

При всех достаточно близких к нулю, мы можем разложить функцию

в степенной ряд по целым положительным степеням пользуясь формулой бинома Ньютона. При этом и вся подынтегральная функция интеграла (247) представится таким радом с коэффициентами, зависящими от Интегрйруя этот ряд почленно по S, получим степенной ряд для

Аналогичным образом можно показать, что и решения уравнения

являются аналитическими функциями переменных о чем мы будем говорить в следующей главе.

Доказательство аналитичности решений для широкого класса уравнений эллиптическою типа дано в работах С. Н. Бернштейна

До сих пор речь шла о классических, т. е. дважды непрерывно дифференцируемых, решениях эллиптических уравнений. Посмотрим, Какими свойствами обладают обобщенные (разрывные) решения этих уравнений. Рассмотрим уравнение (239) и соответствующий ему оператор Лапласа Для него можно провести рассуждения, аналогичные тем, которые сделаны в [43] и [44] для оператора и придти к следующему выводу: уравнение (239) не имеет решений, обладающих слабыми разрывами, а также решений с сильными разрывами, удовлетворяющими кинематическим и динамическим условиям

совместности. Это и понятно, ибо для тех и других решений было установлено, что поверхностями как слабого, так и сильного разрывов могут быть лишь характеристические поверхности уравнения, а таковых эллиптические уравнения не имеют. Мы докажем более общий факт:

Теорема. Любое обобщенное решение класса уравнения Лапласа является классическим.

Это утверждение справедливо при любом числе независимых переменных. Лишь ради большей наглядности возьмем уравнение (239). Пусть есть обобщенное решение уравнения (239) в круге при любом и

при любой Согласно теореме, доказанной в [60], усреднения функции и являются гармоническими (а Потому и аналитическими) функциями, аппроксимирующими и при в нормах . Напомним, что определена в Воспользуемся следующим свойством гармонических функций:

где есть круг с центром в точке радиуса , лежащий в Покажем, что семейство функций равномерно ограничено и равностепенно непрерывно в если Воспользуемся для этого неравенством Буняковского и тем, что при

(см. (222)). Благодаря этим фактам

при любой . Далее, для любых принадлежащих

где симметрическая разность кругов ее площадь, Неравенства (250). и (251) дают равномерную ограниченность равностепенную непрерывность функций в круге Поэтому предельная для них функция, а ею является будет непрерывной в Чтобы доказать ее гармоничность, воспользуемся формулой Пуассона (формула (25) из [II; 205]) для функций и произвольного фиксированного круга лежащего в . В этой формуле можно перейти к пределу по и убедиться, тем самым, что она справедлива для функции и. Но, как доказано в [II; 206], отсюда следует, что и гармонична внутри . Тем самым теорема доказана.

Итак, мы убедились, что для уравнения все его обобщенные решения класса являются классическими, т. е. обычными гармоническими функциями. Напротив, для неоднородного уравнения

переход к обобщенным решениям существенно расширяет множество его решений. Известно, что для гладких f одно из решений (252) дается ньютоновским потенциалом. В случае трех пространственных переменных он имеет вид

где . Если f непрерывно дифференцируема в замыкании D ограниченной области D, то функция (253) имеет непрерывные производные в D до второго порядка и удовлетворяет в D уравнению (252). Напротив, существуют такие непрерывные функции для которых (253) не имеет непрерывных производных второго порядка и поэтому не является классическим решением уравнения (252). Покажем, что при любой функции непрерывной в D, функция и является обобщенным решением класса уравнения (252). Для этого надо доказать, что и при любой

При наших предположениях относительно функция и непрерывна и непрерывно дифференцируема в так что она заведомо

домо принадлежит . Для проверки же равенств (254) рассмотрим функции

где есть усреднения функции продолженной нулем вне D. Для справедливо тождество (254):

При функции сходятся к в норме и равномерно в любой внутренней подобласти D области D. Отсюда нетрудно убедиться, что сходятся к а равномерно в любой D. Ввиду этого в (256) можно перейти к пределу по фиксированной из и убедиться в справедливости (254) для u. Соотношение (254) верно и при любой Более того, при решения уравнения (252) имеют обобщенные производные по первого и второго порядков и удовлетворяют уравнению почти всюду. Мы это докажем ниже в [148] сразу для эллиптических уравнений общего вида. Здесь же отметим, что утверждение теоремы, доказанной в данном пункте, справедливо и для уравнения теплопроводности, а именно: обобщенные решения класса однородного уравнения теплопроводности являются классическими. Доказательство этого утверждения можно найти в книге: Соболев С Л. Уравнения математической физики. — М.: Гостехиздат, 1950, с. 314. Его нетрудно провести и самостоятельно.