2. Задача Коши и характеристики.

Под задачей Коши подразумевают обычно формулированную выше задачу об определении интегральной поверхности уравнения (2), проходящей через заданную линию Для точного исследования вопроса о существовании и единственности решения этой задачи нам придется пользоваться одной теоремой из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а именно:

Теорема. Если правые части системы дифференциальных уравнений

суть непрерывные функции своих аргументов в некоторой области, определяемой неравенствами

и если, кроме того, в этой области существуют непрерывные частные производные то решение системы (5), определяемое в силу теоремы существования и единственности любыми начальными данными , находящимися внутри области (6):

непрерывно по своим аргументам и допускает частные производные по начальным данным, которые являются непрерывными функциями своих аргументов в некоторой окрестности взятых начальных данных.

Чтобы не прерывать изложение, мы отложим доказательство этой теоремы до одного из следующих параграфов.

Вернемся к решению задачи Коши. Положим, что уравнение линии l задано в параметрической форме:

и допустим, что правые части уравнений (4) удовлетворяют условиям формулированной выше теоремы в некоторой области пространства , содержащей внутри себя линию l. Принимая координаты точек l за начальные данные при мы получим решение системы (4):

при s, достаточно близких к нулю, или, в силу (7),

Считая, что правые части уравнений (7) непрерывно дифференцируемы по t, и пользуясь указанной выше теоремой, мы можем утверждать, что функции (8) имеют непрерывные производные не только по s, но и по t. При любом заданном t из промежутка функции (8) определены при всех

достаточно близких к нулю. Составим функциональный определитель от первых двух из этих функций по s и

Существенным для дальнейшего будет тот факт, является ли этот определитель отличным от нуля или нет. Мы рассмотрим, во-первых, тот случай, когда вдоль линии и, во-вторых, тот случай, когда вдоль линии . Начнем с первого случая:

при но тем самым, в силу непрерывности производных, и в некоторой окрестности начального значения и значения соответствующего некоторой точке М линии При этом первые два из уравнений (8) можно решить относительно s и t при всех находящихся в окрестности координат точки М линии . Это решение — единственно; и полученные функции имеют непрерывные производные первого порядка [III; 19]. Подставляя полученные функции в третье из уравнений (8), мы и будем иметь в упомянутой окрестности функцию имеющую непрерывные производные первого порядка, причем поверхность содержит некоторый участок линии в окрестности М. Из указанных в предыдущем параграфе геометрических соображений непосредственно следует, что и удовлетворяет уравнению (2). Мы это проверим ниже и аналитически.

Отметим, что мы построили решение лишь в некоторой окрестности любой заданной точки М линии или, как говорят, получили локальное решение задачи. При некоторых условиях, налагаемых на а, с и линию можно убедиться в возможности построения интегральной поверхности в некоторой окрестности всей линии т. е. при всех х и у, достаточно близких к линии на плоскости При этом считается, что производные одновременно в нуль не обращаются. Точная формулировка подобных результатов будет указана в следующем параграфе.

Вопрос о существовании решения уравнения в некоторой наперед предписанной области плоскости представляет большие трудности. Можно построить область В плоскости ней функцию имеющую производные всех порядков, так, что для уравнения

только будет решением, имеющим непрерывные производные первого порядка и существующим во всей области В.

Проверим теперь, что построенная функция действительно является решением уравнения (2). Пользуясь правилом

дифференцирования сложных функций и уравнениями (4), можем написать:

Это уравнение имеет место для всех s и t, находящихся в окрестности и значения соответствующего некоторой точке линии l. Но , и, следовательно, удовлетворяет уравнению (2) при всех лежащих в окрестности

Для доказательства единственности достаточно убедиться в том, что всякая гладкая интегральная поверхность и проходящая через может быть образована характеристиками. Образуем систему дифференциальных уравнений:

В силу сделанных предположений правые части таковы, что имеет место теорема существования и единственности для всех в окрестности Из того факта, что интегральная поверхность имеет явное уравнение и проходит через участок линии в окрестности точки следует, что координаты различных точек линии l в окрестности М различны (мы считаем, что l не пересекает себя). Беря эти координаты за начальные данные при интегрировании системы (11) и подставляя полученные решения в функцию будем иметь семейство линий на нашей интегральной поверхности. Вдоль этих линий, в силу (11), удовлетворяются первые два из уравнений (4). Нетрудно проверить, что удовлетворяется и третье уравнение. Действительно, пользуясь (11), получаем

Но есть интегральная поверхность, т. е. откуда Таким образом, упомянутые выше линии, покрывающие поверхность и суть действительно характеристики. Итак, при условии (10) задача Коши имеет единственное решение. Мы еще вернемся к вопросу о единственности при рассмотрении нелинейных уравнений первого порядка.

Положим теперь, что вдоль линии т. е. при мы имеем

Покажем, что если в этом случае существует интегральная поверхность с непрерывными производными первого

порядка, проходящая через то эта линия должна быть характеристикой. Здесь, как и выше, когда мы говорим, что поверхность проходит через линию l, то понимаем это локально, т. е. рассматриваем лишь некоторый участок

Будем считать, что отличны от нуля вдоль Принимая во внимание первые два из уравнений (4), мы можем написать условие (12) в виде

где буквою k мы обозначили общую величину написанных отношений. Пусть интегральная поверхность, проходящая через l. Подставляя в выражения дифференцируя пользуясь (13), мы получим Принимая во внимание, что и есть решение уравнения (2), и пользуясь этим уравнением, можем написать далее что и приведет нас к системе

из которой следует, что линия l есть характеристика. Итак, если то для того, чтобы существовала интегральная поверхность, проходящая через линию необходимо, чтобы эта линия была характеристикой. При этом, как мы видели в предыдущем параграфе, через линию I проходит бесчисленное множество интегральных поверхностей. При проведенном выше доказательстве для нас, конечно, было существенным, чтобы интегральная поверхность проходящая через имела в точках этой линии непрерывные производные; может случиться, как это мы увидим на примере, что l не есть характеристика, вдоль нее и все же через проходит интегральная поверхность, но такая, что частные производные от перестают быть непрерывными в точках т. е., иными словами, линия l является особой линией интегральной поверхности. Если характеристика, но вдоль нее то это значит, что вдоль линии l

Отметим одну особенность системы (4). Вспомогательный параметр s не входит в правую часть уравнений, и одна из произвольных постоянных входит как добавочное слагаемое к s. Эта произвольная постоянная не играет существенной роли и сводится к произвольности выбора начального значения s. Таким образом, мы имеем при интегрировании этой системы две

существенные произвольные постоянные. Этот факт непосредственно очевиден, если записать систему (4) в виде (3).

Напомним, что квазилинейное неоднородное уравнение (2) может быть приведено к чисто линейному однородному уравнению, если искать решение в неявной форме [II, 21].

где С — некоторая произвольная постоянная. Согласно правилу дифференцирования неявных функций, мы имеем

и уравнение (2) порождает линейное однородное уравнение для функции

Соответствующей ему системой обыкновенных дифференциальных уравнений является система (3). Если

- два независимых интеграла этой системы, то где F — произвольная функция своих аргументов, будет решением уравнения (15). Мы видели, каким образом из условий задачи Коши можно найти явный вид этой функции [II; 24].

Изложенные рассуждения дают повод к следующему вопросу. Мы искали решение уравнения (2) как решение, входящее в целый класс решений, имеющих неявное уравнение (14), содержащее лроизвольную постоянную С. Нетрудно показать, что мы таким путем не потеряем ни одного решения нашего уравнения. Для этого надо принять во внимание то, что, ввиду произвольности начальных данных в задаче Коши, мы можем всякое решение нашего уравнения считать входящим в целое семейство решений, содержащее произвольную постоянную. Решая относительно этой произвольной постоянной, мы и убедимся в том, что всякое решение может быть получено из формулы вида (14). Мы могли бы потерять лишь такие решения (особые решения), которые не могут быть получены указанным выше процессом путем решения задачи Коши Таких решений не может быть, если функции а, b и с удовлетворяют некоторым общим условиям. На подробностях доказательства мы не останавливаемся.