143. О результатах Шаудера.

Для эллиптических уравнений второго порядка общего вида

основными (классическими) предельными (краевыми) задачами являются задача Дирихле, в которой на границе S области D с задаются значения их

вадача Неймана (вторая краевая задача), в которой на S задаются значения производной и по конормали к

и третья краевая задача, в которой задается линейная комбинация и u на S:

Наиболее красивые результаты по разрешимости задачи Дирихле в ограниченных областях D были доказаны Шаудером и частично Каччопполи в работах: Schauder J. Ober lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung. - Math. Z., 1934, 38, S. 257-282; Numerische Abschatzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen.-Studia Math., 1934, 5, S. 34-42; Caccioppoli R. Sulle equazioni ellittiche a derivate partial! con n variabili independenti. - Rend. Acc. Lincei, 1934, 19, p. 83-89. Они формулируются в терминах пространств Гёльдера Элементами являются функции непрерывные в В в смысле Гёльдера с показателем а непрерывна в D и для нее конечна постоянная Гёльдера:

Норма в определяется равенством

Элементами являются непрерывные в D функции, имеющие всевозможные производные до порядка причем производные порядка суть элементы Норма в определяется равенством

В нем означает суммирование по всем производным порядка

Пространства являются банаховыми. Таковыми же являются и пространства состоящие из непрерывных в D функций, имеющих непрерывные в D производные до порядка l. Норма в определяется

Вместо принято писать просто

Будем говорить, что граница S области принадлежит классу если существует число такое, что пересечение S с шаром радиуса с центром в произвольной точке есть связная поверхность, уравнение которой в местной декартовой системе координат с началом в точке имеет вид причем есть функция класса в замкнутой области , являющейся ортогональной проекцией пересечения на плоскость Термин «местная декартова система координат с началом в точке означает, что ось направлена по нормали к S в точке а остальные, ортогональные друг другу лежат в гиперплоскости, касательной к S в точке

Для функции заданной на поверхности S класса принадлежность к а, будет означать, что она как функция местных координат принадлежит для всех

Основной результат Шаудера состоит в следующем:

Теорема 1. Если коэффициенты и свободный член f уравнения (391) являются элементами , где D — ограниченная область в

принадлежит классу то задача (391), (392) имеет решение и, принадлежащее и оно единственно.

На основе этой теоремы, предложения о компактности вложения и спектральных свойств вполне

непрерывных операторов устанавливается аналог первой и второй теорем Фредгольма для оператора L при условии Дирихле. А именно, рассмотрим наряду с задачей (391), (392) спектральную задачу

Чтобы сформулировать наиболее полный результат, надо считать X комплексным числом, а — комплекснозначной функцией вещественного переменного . В соответствии с этим надо ввести аналоги пространств элементами которых являются комплекснозначные функции принадлежащими Сохраним за ними те же обозначения . Норма в таком определяется как сумма норм (397) для

Справедливо следующее предложение:

Теорема 2. Пусть для L и S выполнены все предположения предыдущей теоремы, кроме условия Тогда задача (399) имеет нетривиальные (т. е. отличные от тождественного нуля) решения не более чем при счетном числе значений , и эти решения принадлежат Числа расположены в квадратичной параболе параметры которой вычисляются по коэффициентам L. Каждое имеет конечную кратность, т. е. каждому соответствует лишь конечное число линейно независимых решений. Задача

однозначно разрешима в при любых если X отлично от чисел ,

Последнее утверждение теоремы можно кратко формулировать так: из теоремы единственности для задачи (400) следует теорема существования. Числа составляют спектр оператора L при первом краевом условии. Соответствующие им решения (т. е. решения задачи (399) при называются собственными функциями оператора L при первом краевом условии. Все они принадлежат Третью теорему Фредгольма для задачи (400) при указанной выше гладкости коэффициентов L формулировать в простом виде невозможно. Мы это сделаем в дальнейшем при несколько иных предположениях о коэффициентах L, когда будем подробно исследовать задачу (400) в гильбертовом пространстве

Доказательство этих теорем существенно опирается на следующее важное неравенство:

Оно справедливо для любой функции и из Постоянная С в нем зависит лишь от норм коэффициентов L в простран стве константы эллиптичности v и границы S, которая должна принадлежать классу Если коэффициент в L неположителен, то из правой части (401) можно выбросить член . Неравенство (401) принято называть неравенством Шаудера (он установил его для ).

Мы не будем излагать доказательств описанных здесь фактов, ибо они непросты и весьма техничны. Читатель может познакомиться с ними по монографии. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — 2-е изд—М.: Наука, 1973. Здесь же отметим оригинальную и весьма плодотворную идею Корна которую принято называть «замораживанием» коэффициентов. Она позволила разбить всю задачу на несколько «канонических» задач, касающихся только оператора Лапласа. Для решения этих задач используется классическая теория потенциала, изложенная нами в предыдущих параграфах. Эта идея нашла себе широкое применение при исследовании общих краевых задач для уравнений и систем произвольного порядка эллиптического и параболического типов, в частности, дала возможность доказать фредгольмову разрешимость задач (391), (393) и (391), (394).

В следующих пунктах мы докажем фредгольмову разрешимость задачи (400) в гильбертовом пространстве . Делается это значительно проще, чем в других пространствах, и без использования упомянутой идеи Корна.