149. О фредгольмовой разрешимости задачи Дирихле.

Рассмотрим теперь вопрос о разрешимости задачи Дирихле

при произвольном вещественном X. Все дальнейшее справедливо для любых комплексных X, но мы ограничимся случаем вещественных X. Пусть для L и D выполнены условия теоремы 2 предыдущего пункта. Возьмем столь большое что для справедливо заключение этой теоремы, и преобразуем задачу (474) к эквивалентному виду

В [148] было доказано, что преобразует элементы в элементы и для любой

(см. (461)). В силу теоремы Реллиха отсюда следует, что является вполне непрерывным оператором в (т. е. как оператор, действующий из ). Поэтому к уравнению (475) применимы теоремы Фредгольма, изложенные нами в также [V, 133—135]). Из них следует, что уравнение (475) однозначно разрешимо в при всех X, кроме, может быть, счетного числа X. Эти исключительные значения обозначим через Пусть X не совпадает ни с одним из и и есть соответствующее ему решение уравнения (475). Это решение и фактически принадлежит , т. к. оба члена правой части (475) принадлежат если Поэтому и есть решение задачи (474) из пространства

При (и только при таких X) имеются нетривиальные (т. е. отличные от тождественного нуля) решения однородного уравнения

Они также принадлежат ибо из принадлежности и свойств оператора следует, что в Благодаря этому суть решения задачи

Они называются собственными функциями оператора L в области D при первом краевом условии, его собственными значениями. Из упомянутой выше теории линейных уравнений с вполне непрерывными операторами следует, что каждому Х соответствует лишь конечное число линейно независимых решений задачи (478), иначе говоря, каждое из имеет конечную кратность. Для формулировки следующих утверждений нам надо ввести операторы, сопряженные к операторам L и действующим в пространстве

Оператор, сопряженный к данному (линейному) оператору А, обозначается через А. Он определяется с помощью тождества

которое должно выполняться для всех элементов и, на которых задан оператор А. Для ограниченных операторов А мы считаем, что областью определения (задания) оператора В является все , а для неограниченных А — множество плотное в Область определения оператора А (ее обозначают через ) состоит из тех и только тех элементов у, для которых выражение являющееся линейной функцией от и на множестве может быть представлено в виде где да есть какой-нибудь элемент . В силу плотности такой элемент w может быть только один, и ему полагается равным значение

Для случая ограниченных операторов А доказывается, что есть все гильбертово пространство , если вместо взято . Это легко выводится из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала в Действительно, при любом фиксированном v из выражение есть линейная непрерывная функция и, определенная на всем (т. е. линейный функционал), и потому найдется единственный элемент да такой, что да) при всех . Но это и значит, что

Для неограниченных операторов А нахождение и «явного» вида А — вопрос сложный. Интересующие нас операторы L и суть неограниченные операторы, заданные на множестве плотном в Мы покажем, что сопряженные им операторы L и имеют вид

(т. е. являются дифференциальными операторами, сопряженными в смысле Лагранжа к L и соответственно — см. формулу (410)), и их области определения совпадают с

Для этого проверим, что задача

где — есть дифференциальное выражение из (480), однозначно разрешима в при любой Действительно, для выполняются все условия теоремы 2 [148], в том числе и условие если ибо

Обозначим через оператор, сопоставляющий f решение и задачи (481). Он является ограниченным оператором в устанавливающим взаимно однозначное соответствие между . С другой стороны, для любых функций из справедливо равенство

которое получается двукратным интегрированием по частям левой части. Сопоставляя его с данным выше определением оператора А, сопряженного к оператору А, видим, что элементы v из множества принадлежат и на нем вычисляется по правилу (480). Нам осталось проверить, что т. е. доказать, что если для каких-то элементов v и из выполняется тождество

при любом и то Найдем по f элемент решение задачи (481) (оно принадлежит ) и представим в виде согласно формуле (482). Тогда и так как элементы пробегают все когда и пробегает , то отсюда следует, что т. е. v действительно принадлежит

Итак, мы показали, что оператор сопряженный к неограниченному оператору действующему в пространстве и определенному на множестве имеет своей областью определения то же множество и на элементах этого множества его действие задается дифференциальным выражением (480). Так как дифференциальное выражение отличается от лишь на слагаемое и, которому отвечает ограниченный оператор, то

и действие оператора L на задается дифференциальным оператором L из (480).

Замечание. Когда говорят о дифференциальном операторе L, задаваемом выражением (480), то имеют в виду лишь правило вычисления на функциях Надо отличать это понятие от понятия оператора, сопряженного к неограниченному оператору L, порожденному дифференциальным оператором L, В этом случае должна быть указана область определения дифференциального оператора L и найдена соответствующая ей область определения сопряженного к нему оператора.

Вернемся к изучению операторов и , а также заданных на множестве пространства Докажем, что сопряженным к ограниченному оператору действующему в является ограниченный оператор т. е. что

Это легко выводится из известных уже нам фактов; а именно, того, что оператор и сопряженный ему оператор устанавливают взаимно однозначное соответствие между и всем пространством и для них верно тождество (482) при любых и, Когда и v пробегают множество пробегают все Обозначив через через перепишем (482) в виде

Так как это равенство справедливо при любых то оно и показывает, что равен ограниченному оператору

Вернемся теперь к задаче (474) и связанным с нею задачам (475), (477) и (478). Так как есть вполне непрерывный оператор в то для сопряженного к нему оператора характеристическими числами являются те же числа , что и для т. е. уравнение

имеет ненулевые решения лишь для (напомним, что мы ограничили себя рассмотрением только вещественных X). Каждому Х соответствует конечное число нетривиальных решений уравнения (482), равное числу линейно независимых решений уравнения (477) при том же X. Иначе говоря, кратности характеристического числа для и для

совпадают. Так как то уравнение (482) эквивалентно системе уравнений

которая, в свою очередь, есть не что иное, как система

решения которой ищутся в , а дифференциальный оператор L задан равенством (480). Итак, вещественный спектр операторов L и при первом краевом условии не более, чем счетен, каждое из входящих в него имеет конечную кратность и единственными предельными для точками могут быть лишь Однако из теоремы 2 [148] следует, что при , ббльших или равных задача (478) не имеет ненулевых решений, следовательно все X меньше Если бы мы с самого начала рассмотрели комплексное гильбертово пространство и задачу (474) с комплексными , то, используя соответствующие теоремы Фредгольма для уравнения (475), пришли бы к выводу, что полный спектр операторов L и состоит из не более чем счетного числа собственных значений, каждое из которых имеет конечную кратность. Сравнительно простые оценки типа [145] показывают, что спектра нет вне квадратичной параболы вида , где - некоторые вещественные числа, которые нетрудно подсчитать по константе эллиптичности v и мажорантам коэффициентов L, причем а суть вещественная и мнимая части (т. е. Значительно более сложный анализ показывает, что полный спектр задачи (474) состоит из неограниченного числа собственных значений при Это было установлено Карлеманом (см. [138]).

В следующем пункте мы докажем это для случая симметрического оператора L, т. е. когда или, что то же, когда а сейчас перейдем к формулировке и доказательству третьей теоремы Фредгольма для задачи (474).

Пусть в ней равно какому-нибудь собственному значению . Если задача (474) имеет решение и для f, взятого из всюду имеем в виду решения из класса то умножая первое из уравнений (474) на произвольную функцию v из класса и интегрируя затем по D, мы можем результат преобразовать следующим образом:

Для v, равных любому из решений задачи (483) с это равенство приобретает вид

следовательно, оно необходимо для разрешимости задачи (474) Докажем, что условие (484) является и достаточным для разрешимости задачи (474). Действительно, необходимым и достаточным условием разрешимости уравнения (475) в пространстве согласно третьей теореме Фредгольма для уравнений с вполне непрерывным оператором является условие

где любое решение уравнения (482) с к . Но задача (482) эквивалентна задаче (483) с к и их решения совпадают, так что это условие есть не что иное, как условие (484). Оно имеет такой же вид и в случае комплексного . Подытожим теперь все доказанное в виде теоремы:

Теорема 1. Пусть для L и D выполнены условия теоремы 2 предыдущего пункта. Тогда задача (474) однозначно разрешима для любого f из при всех вещественных кроме не более чем счетного числа значений составляющих вещественную часть спектра L в D при первом краевом условии. Для этих и только этих значений однородная задача (478) имеет нетривиальные вещественные решения, причем каждому соответствует лишь конечное число линейно независимых решений задачи (478). Множество является вещественной частью спектра сопряженной задачи (483), причем для нее имеет ту же кратность, что и для задачи (478). Числа можно расположить в порядке их убывания, и единственной точкой накопления для может быть лишь

Для разрешимости задачи (474) при к необходимо и достаточно выполнение условий (484) ортогональности f ко всем решениям однородной сопряженной задачи (483) при том же . При выполнении этих условий общее решение задачи имеет вид есть какое-либо частное решение задачи произвольные числа, решения задачи (478) сданным Эта теорема есть одна из возможных формулировок фредгольмовой разрешимости задачи Дирихле (474).

Как сказано выше, аналогично исследуется задача (474) для заполняющих всю комплексную плоскость. Условие

разрешимости задачи (474) при комплексном имеет тот же вид (484).

Полезно заметить, что для решений задачи (474) при всех X, отличных от справедлива оценка

постоянная С, в которой зависит от коэффициентов L, области D и взятого X. Для тех К для которых выполнено условие (420), мы смогли дать явное выражение для через некоторые сравнительно простые характеристики области D и параметры и X. В общем же случае, когда известно лишь, что X не совпадает со спектральными значениями мы можем утверждать существование постоянной но не можем выписать ее явного вида. Ясно, что С стремится к бесконечности при приближении X к спектру Заметим, что и фактическое определение спектра для данных L и D является весьма сложной вычислительной задачей.

Из теоремы 1 данного пункта и теоремы 2 [148] вытекает следующее предложение:

Теорема 2. Пусть для L и D выполнены условия теоремы 2 предыдущего пункта. Тогда любое обобщенное решение задачи (474) из класса является элементом

Действительно, пусть функция и является обобщенным решением задачи (474) из класса т. е. принадлежит и удовлетворяет тождеству (407) при любой функции Запишем тождество (407) в виде

где Число выберем столь большим, чтобы выполнялось неравенство (420), гарантирующее теорему единственности из [145] для задачи (474) с т. е. для задачи

причем функцию рассматриваем как известную (в ней в качестве и взято известное по условию теоремы обобщенное решение из ). Ясно, что . В силу (486), и есть обобщенное решение задачи (487) из с только что указанным F. С другой стороны, теорема 2 [148] гарантирует однозначную разрешимость задачи (487) в классе (благодаря (420) имеет место первая теорема Фредгольма). В силу.

же теоремы 2 [145] это решение обязано совпадать с исследуемым обобщенным решением и из и потому и есть мент что и требовалось доказать.