12. Любое число независимых переменных.

Рассмотрим уравнение первого порядка в случае любого числа независимых беременных:

Метод Коши интегрирования такого уравнения проводится совершенно так же, как и в случае двух независимых переменных, и мы ограничимся лишь указанием результатов. Характеристическая система, соответствующая уравнению (97), имеет вид

Укажем формальный путь, приводящий к системе (98). Пусть имеется решение уравнения (97) с непрерывными производными до второго порядка. При этом и U после подстановки будут функциями

Напишем систему уравнений первого порядка

где s — вспомогательная переменная. Подставляя решения этой системы в уравнение и и дифференцируя по 5, получим

Дифференцируя (97) по получим

Из равенств следует, что

Таким образом, мы получили все уравнения системы (98). Рассмотрим подробнее систему (98), как систему относительно функций вспомогательного переменного

Она допускает очевидный интеграл

Положим, что нам удалось проинтегрировать указанную систему:

где начальные значения функций при Будем считать, что эти начальные значения являются функциями параметров

Подставляя это в формулы (99), мы будем иметь выражение переменных и а через параметров. Рассмотрим функциональный определитель

который, в силу первых из уравнений системы, может быть написан в виде

Если этот определитель в окрестности начального значения отличен от нуля, то уравнения (100) дают нам поверхность, которая может быть записана явной формулой . Для того чтобы эта поверхность оказалась интегральной поверхностью уравнения (97), необходимо и достаточно, чтобы функции (100) удовлетворяли следующим соотношениям:

Задача Коши состоит в отыскании интегральной поверхности уравнения (97), содержащей заданное -мерное многообразие:

Мы считаем, что это многообразие дополнено до многообразия (100), так что удовлетворяются соотношения (102) и (103), Если

при этом определитель (101) отличён от нуля вдоль такого многообразия, то указанный выше метод приводит к решению задачи Коши, и это решение единственно. Совершенно так же, как и в случае двух независимых переменных, мы можем строить интегральный коноид уравнения (97), фиксируя некоторую точку и выбирая как функции параметров так, чтобы удовлетворялось соотношение (102). Если уравнение (97) разрешено относительно и если условие Коши имеет вид

и

то задача Коши имеет одно определенное решение.

Мы не приводим здесь всех условий непрерывности и существования производных . Это делается так же, как и при Для уравнения (104) с начальным данным (105) можно, при некоторых определенных предположениях относительно f и определить и ту область, в которой существует интегральная поверхность. Предположим, что функция f непрерывна и имеет непрерывные производные при а и произвольных Положим, кроме того, что эти производные имеют непрерывные производные по и что производные ограничены по абсолютной величине числом А при указанных значениях аргументов. Положим далее, что имеет непрерывные производные до второго порядка и что имеет место неравенство

При этом существует дважды непрерывно дифференцируемое решение уравнения (104) при условии (105) в области а и произвольных , где . Кроме того, а должно удовлетворять условию

[см. Камке (Kamke). — Math Z, 1943, 49, № 3].