84. Уточненные теоремы разложения Стеклова.

В [77] мы получили теорему разложения по собственным функциям уравнения (16). Предельные условия мы возьмем в виде

Теоремы разложения по функциям при весьма общих условиях, независимо от теории интегральных уравнений, даны в работах В А Стеклова. Относящиеся сюда результаты собраны в его книге «Основные задачи математической физики» т. I (Пгр, 1922). Мы приведем некоторые из полученных им результатов.

Лишь ради упрощения рассуждения будем предполагать, что Это ограничение можно отбросить во всех пунктах [84] — [91] Пусть непрерывная функция, имеющая непрерывную производную в промежутке и удовлетворяющая

предельным условиям (54). Существование производной второго порядка не предполагается. Докажем предварительно формулу

Действительно, производя интегрирование по частям и пользуясь уравнением, которому удовлетворяют собственные функции

получим

Но внеинтегральный член равен нулю в силу , а последний интеграл равен нулю в силу ортогональности собственных функций Рассмотрим теперь функционал

и подставим в него

где — коэффициенты Фурье функции :

Раскрывая скобки и принимая во внимание (22) и (55), получим

Производя в последнем интеграле интегрирование по частям и принимая во внимание, что, по условию, , а также учитывая (56), получим

Если предположить, что не только но и , та из этой формулы непосредственно следует неравенство, аналогичное неравенству Бесселя:

и сходимость ряда, стоящего слева. Все члены этого ряда положительны, ибо при .

Отметим, что доказательство неравенства (61) полностью сохранится, если предположить, что непрерывная функция имеет производную везде в кроме конечного числа точек причем производная непрерывна везде, кроме упомянутых точек, а в этих точках имеет конечные пределы слева и справа (разрыв первого рода). При интегрировании по частям достаточно интегрировать по промежуткам непрерывности и затем сложить все эти интегралы.

Докажем теперь, что при сделанных выше относительно предположениях ее ряд Фурье

регулярно сходится в промежутке , т. е. что ряд

равномерно сходится в этом промежутке. Пользуясь интегральным уравнением

мы можем представить ряд (63) в виде

где

можно рассматривать как коэффициенты Фурье функции аргумента Пользуясь неравенством (61), можем написать

где есть производная по . Все функции, стоящие под знаком интеграла, ограничены, и из (67) следует, что

где М — некоторая постоянная. Заменим на и применим к отрезку ряда (65) неравенство Коши

или

и из этого неравенства и сходимости ряда с членами непосредственно следует, что ряд (65) сходится равномерно на промежутке , т. е. ряд (62) сходится регулярно. С другой стороны мы знаем, что его сумма равна

Приведем еще одно доказательство теоремы разложения без предположения и при прежних предположениях относительно . Оно также принадлежит В. А. Стеклову. Вводя обозначение (58), докажем прежде всего, что существует такая постоянная С (не зависящая от ), что

Мы имеем

Интегрируя последний интеграл по частям и принимая во внимание (56), а также ортогональность к функциям , получим

откуда, обозначая через наибольшее значение в промежутке и применяя неравенство Буняковского, причем в первом интеграле заменяем получим

Принимая во внимание, что, в силу уравнения замкнутости,

мы получаем для неравенство вида

где — положительные постоянные. Из этого неравенства видно, что при возрастании остается ограниченной, и мы получаем (69).

Далее из

следует, что

откуда, применяя неравенство Буняковского и считая получим

В случае мы должны поменять пределы интегрирования . Интегрируя обе части по на промежутке получим

Обозначая через наименьшее значение положительной функции в промежутке можем написать, в силу (69), что

и предыдущее неравенство дает

Правая часть не зависит от и при беспредельном возрастании стремится к нулю, откуда следует, что равномерно в промежутке т. е. ряд (62) равномерно сходится в этом промежутке и его сумма равна Можно доказать и без предположения что ряд (62) регулярно сходится.