82. Функции Эрмита и Лагерра.

Можно построить функцию Грина и для предельных задач, приводящих к функциям Эрмита и Лагерра.

Функции Эрмита суть собственные функции для уравнения

при основном промежутке и при условии, что 0 при . Собственные значения суть Заменяя к на можем переписать уравнение в виде

причем собственные значения теперь определяются по формуле Уравнение

имеет решение и, вводя вместо у новую искомую функцию по формуле мы непосредственно найдем его общий интеграл:

где произвольные постоянные. При мы должны взять решение, которое обращается в нуль при

где а — постоянная. При точно так же возьмем решение

где b — новая постоянная. Эти постоянные определятся из условия непрерывности при и скачка производной при Окончательно получим

Функции Лагерра при суть собственные функции для уравнения

при основном промежутке и при условии ограниченности решения в окрестности и обращения его в нуль при Собственные значения суть Заменяя на можем переписать уравнение в виде

собственные значения будут Уравнение

имеет решение и, совершая замену искомой функции , мы сможем найти общий интеграл этого уравнения:

При мы должны взять решение, регулярное при

и при решение, равное нулю при

Определяя а и b, как в выше, получим окончательно