с ядром
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
Надо выяснить, имеет ли оно решения, отличные от нулевого. Положим, что 
и пусть 
решение уравнения (377). Формула (374) при 
Дает решение уравнения 
удовлетворяющее условию (373). Но такое решение равйо тождественно нулю [136], т. е.
Из формулы (377) при 
непосредственно следует, что 
должно иметь внутри 
непрерывные производные 
и, применяя к обеим частям формулы (378) оператор Лапласа, получим 
т. е. уравнение (377) имеет при 
только нулевое решение, а следовательно, уравнение (375) разрешимо при любом свободном члене. Поскольку 
имеет, по условию, внутри 
непрерывные производные первого порядка, можно утверждать, что и 
имеет такие же производные, откуда следует, что формула (374) дает решение поставленной выше задачи. Можно показать, что однородное уравнение (377) имеет только нулевое решение, независимо от знака 
в том случае, если область 
достаточно мала. Все сказанное выше применимо и в плоском случае. Если применить указанный выше метод для уравнения
то мы придем к интегральному уравнению с ядром:
Если для производных функции Грина имеет место оценка
то к упомянутому интегральному уравнению применимы обычные теоремы.
Сравнительно простое доказательство этой оценки имеется в заметке Эйду с а Д. М. - ДАН СССР, 1956, 106, № 2.
или 
точек пространства мы в дальнейшем будем обозначать просто 
или 
мы считаем непрерывными в замкнутой области 
, и имеющими непрерывные производные первого порядка внутри 
- функция Грина оператора Лапласа с предельным условием (373). Это последнее условие для функции 
определенной формулой (374), выполнено при любом выборе непрерывной функции 
и надо подобрать эту функцию так, чтобы внутри D, удовлетворялось уравнение (372). Считая, что 
имеет непрерывные производные, получим для 
интегральное уравнение
