14. Полный интеграл и задача Коши.

Покажем теперь, каким именно образом из полного интеграла следует решение задачи Коши. Пусть требуется найти интегральную поверхность, проходящую через линию:

Вопрос приводится к нахождению такой функции в общем интеграле, определяемом равенствами (111) и (112), чтобы полученная интегральная поверхность прошла через линию (115). Выясним предварительно одно свойство огибающей поверхности. Пусть имеется семейство поверхностей с одним параметром:

Положим, что через всякую точку М линии (115) проходит поверхность семейства (116), причем касательная плоскость к этой поверхности в точке М содержит касательную к линии в точке М. Покажем, что в этом случае огибающая семейства содержит линию (115). Действительно, мы ймеем по условию

причем различным точкам М линии (115) отвечают различные значения постоянной а, т. е. различные поверхности семейства Дифференцируя последнее тождество по t, получим

С другой стороны, тот факт, что касательная плоскость к поверхности семейства (116) содержит касательную к линии (115), приводит нас к тождеству

и последние два тождества дают или, в силу , мы имеем . Итак, функции (115) удовлетворяют тождественно относительно t уравнениям т. е. огибающая семейства (116) действительно содержит линию (115).

Положим теперь, что мы имеем полный интеграл уравнения (106), который напишем в неявной форме:

Нам надо определить функцию так, чтобы выполнялись соотношения (117) и (118). Левая часть уравнения (118)

представляет собою производную по t от левой части уравнения (117). Обозначим через результат подстановки функций (115) в левую часть уравнения (119). Мы должны написать таким образом два уравнения

Исключая из этих равенств мы будем иметь соотношение между , т. е. найдем искомую функцию: . Таким образом, для решения задачи Коши по полному интегралу надо в уравнение полного интеграла подставить функции (115), полученное уравнение продифференцировать по t и из двух построенных таким образом уравнений исключить t Это приведет нас к соотношению между постоянными . Соответствующий этому соотношению общий интеграл и будет проходить через линию (115).

Можно поступать и иначе Выразим из (120) а и b через t. Подставляя в (119), будем иметь семейство поверхностей, зависящее от одного параметра t. Находя огибающую этого семейства, получим искомую интегральную поверхность, проходящую через линию (115).

Отметим еще связь понятия общего интеграла с характеристическими полосами, которые получаются в результате интегрирования системы (107). Огибающая семейства (111) касается одной из огибаемых вдоль некоторой линии . Проводя вдоль этой линии касательную плоскость, общую огибающей и огибаемой, мы получим некоторую полосу. Эта полоса принадлежит двум интегральным поверхностям, а именно: огибающей и огибаемой, и, следовательно, должна быть характеристической полосой. Мы можем, таким образом, утверждать, что формулы

определяют, при любом фиксированном а и любом выборе решение системы (107), удовлетворяющее условию (106).

Мы можем считать, что формулы (121) определяют четыре из величин , как функции пятой и трех произвольных постоянных . Общий интеграл системы (107) содержит четыре произвольные постоянные. Но, ввиду наличия соотношения (106), семейство всех характеристических полос должно зависеть только от трех произвольных постоянных, что мы и получили согласно формулам (121). В одном из следующих параграфов, для случая любого числа независимых переменных, мы проверим путем непосредственного вычисления тот

факт, что уравнения (121) действительно дают решение системы (107).

Выясним возможность определения особого интеграла непосредственно по дифференциальному уравнению без помощи полного интеграла. Дифференцируя тождество (110) по а и , мы получим

Принимая во внимание определение особого интеграла (ИЗ), мы можем утверждать, что на особой интегральной поверхности выполнены следующие два равенства:

Будем считать, что определитель написанной однородной относительно системы на особой интегральной поверхности отличен от нуля, что по существу сводится к предположению о возможности разрешения уравнений (109) относительно а и b. При этом написанная однородная система дает нам

Таким образом особый интеграл может быть получен путем исключения и q из следующих трех уравнений:

Уравнения (122) указывают на невозможность применения теоремы о неявных функциях к уравнению (106) по отношению к переменной или переменной q. Это показывает на невозможность получения особого интеграла в результате решения задачи Коши, как это мы делали в [9], считая уравнение разрешенным относительно (или q). К этому же результату мы можем прийти и иным путем. Какую кривую мы ни взяли на особой интегральной поверхности, вдоль этой кривой определитель (96), в силу условий (122), будет равен нулю, что и указывает на несуществование определенного решения задачи Коши при любом выборе кривой на поверхности особого интеграла.