117. Суб- и супергармонические функции.

При решении задачи Дирихле методом интегральных уравнений были существенны сравнительно тяжелые ограничения, которые приходилось накладывать на границу области. Мы изложим другой метод решения задачи Дирихле, годный при весьма общих предположениях о границе области и предельных значениях на этой границе. Его часто называют «методом выметания». Он был предложен Пуанкаре, затем уточнен Перроном Perron. Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe fur . - Math. Z., 1923, 18, S. 42-54; см. также статью И. Г. Петровского: Метод Перрона решения задачи Дирихле. — УМН, 1941, 8 и его книгу по уравнениям с частными. производными) и Валле — Пуссеном.

В настоящем параграфе мы изложим некоторые новые понятия, которые окажутся нам полезными при проведении упомянутого метода. Эти новые понятия представляют и общий интерес в математической физике. Все изложение мы будем проводить для случая плоскости. В трехмерном пространстве они буквально такие же. Разница в исследовании предельных значений гармонической функции, которая строится по упомянутому методу, указана в конце изложения метода.

Для функции одной независимой переменной аналогом уравнения Лапласа является уравнение и его общий интеграл есть полином первой степени: а его график — прямая. Задача Дирихле, т. е. задача определения решения уравнения внутри промежутка при заданных значениях на, концах промежутка, сводится просто к проведению прямой через две заданные точки. Характерным для полинома первой степени является тот факт, что его значение

в какой-либо точке является средним арифметическим его значений в точках равноотстоящих от Рассмотрим теперь непрерывную линию, обращенную вогнутостью в сторону положительных ординат. Пусть ее уравнение. В точках этой линии мы будем иметь

Совершенно аналогично, если линия обращена выпуклостью в сторону положительных ординат, то

Неравенство непосредственно вытекает из того факта, что в рассматриваемом случае каждый участок кривой находится под своей хордой. Введем соответствующие классы функций и в случае нескольких переменных. Пусть - функция, непрерывная внутри плоской области В. Мы назовем ее субгармонической внутри Б, если для всякой точки Р, находящейся внутри В, существует такое положительное число что не превосходит среднего значения на окружности с центром Р и любым радиусом Если ввести координаты точки Р, то высказанное условие запишется в виде

Если функция гармоническая функция внутри В, то для всякой точки внутри В в формуле имеет место знак равенства [II; 204], и таким образом гармоническая функция есть частный случай субгармонической функции. Определение может быть непосредственно обобщено и на трехмерный случай, только окружности мы должны заменить сферами. Совершенно аналогично определяется супергармоническая функция Для нее вместо (172) мы должны иметь во всякой внутренней точке области В:

Гармоническая функция есть частный случай и супергармонической функции. Из определения непосредственно вытекает, что если есть субгармоническая функция и С — постоянная, то будет субгармонической при и супергармонической при . Если же супергармоническая, то супергармоническая при и субгармоническая при . Кроме того, из данных нами определений вытекает, что

конечная сумма субгармонических функций есть субгармоническая функция, и конечная сумма супергармонических функций есть супергармоническая функция.

Положим, что имеет внутри области В непрерывные производные второго порядка и

Применяя формулу Грина к кругу с центром лежащему внутри В, и полагая и получим

где — окружность круга . Применим еще к функции формулу [II; 203]:

где — расстояние от до переменной точки интегрирования. На направление совпадает с направлением и, пользуясь (174), мы можем переписать предыдущую формулу в виде 21

В друге мы имеем и, в силу последняя формула дает неравенство т. е. при условии функция есть субгармоническая внутри В функция. Точно так же, если

то есть супергармоническая внутри В функция. В основном определении и супергармонической функций мы не предполагаем существования производных. Условия и (1732) аналогичны известным условиям выпуклости и вогнутости кривой [I; 71].

Выясним некоторые простые свойства и супергармонических функций. Положим, что непрерывна в замкнутой области и субгармоническая внутри области. При этом из непосредственно вытекает, что субгармоническая функция принимает наибольшее значение на контуре. Больше того, она не может иметь внутри максимума, в окрестности которого она непостоянна. Точно так же супергармоническая функция принимает наименьшее значение на контуре.