56. Энергетическое неравенство.

Рассмотрим уравнение гиперболического типа, имеющее вид

в котором зависят от причем — непрерывны, имеет непрерывные производные первого порядка в областях пространства , о которых мы будем говорить ниже. Поскольку мы считаем (181) уравнением гиперболического типа, будет иметь место неравенство

причем мы будем считать, что v — положительная постоянная

для упомянутых выше областей. В дальнейшем, для большей наглядности, мы будем считать, что , так что будем рассматривать трехмерное пространство с координатами Рассуждения переносятся и на общий случай.

Наша задача — дать оценки для решений уравнения (181) через начальные данные и коэффициенты. Из этих оценок сразу будет следовать, между прочим, единственность решения задачи Коши и непрерывная зависимость его от начальных данных. Наши последующие рассуждения будут сходны с теми, которые мы применяли при доказательстве единственности задачи Коши и предельной задачи для волнового уравнения в [II; 192]. Для этого предварительно докажем следующую лемму. Лемма. Если неотрицательная, абсолютно непрерывная функция удовлетворяет при почти всех неравенству

где — интегрируемые функции, тогда

Если к тому же то при почти всех

Из (184) и (185), в частности, следует, что если есть положительная константа - неубывающая функция, то

и

Действительно, умножим обе части неравенства (183) на и результат запишем в виде

Интегрируя это неравенство от нуля до t, получим оценку (184). Из нее и (183) в случае следует (185). Лемма доказана.

Пусть в некоторой области, примыкающей к плоскости и расположенной в полупространстве, где имеется решение уравнения (181), непрерывное с производными до второго лорядка вплоть до ее границы. Предположим, что в ней содержится область D типа усеченного конуса, нижнее основание которого лежит на плоскости верхнее на плоскости на боковой поверхности S положителен и S ориентирована пространственно-характеристическим образом, т. е. на ней

(напомним, что нормаль к S направлена вне D). Обозначим через сечение D плоскостью Рассмотрим равенство

для . В силу тождеств

равенство (189) можно преобразовать, используя формулу (107), к виду

где есть граница . Подынтегральное выражение, стоящее в третьем члене, неотрицательно, ибо оно лишь поло жительным множителем отличается от суммы

в которой первое слагаемое есть форма вида которая неотрицательна при любых а второе неотрицательно в силу предположения (183). В силу этого из равенства (190) следует неравенство

где

Положим, что имеют место неравенства

где — некоторое положительное число. Тогда

Далее, мы имеем

Но, в силу (182),

и, следовательно,

где положительная постоянная, зависящая от коэффициент тов. Совершенно аналогично

где постоянная, аналогичная . Обозначим

Применяя неравенство и принимая во внимание, что

получим

Далее из и (195) получим

где

Подставляя полученные оценки в (191), будем иметь

Переходим к оценке Возьмем интеграл

Его можно рассматривать как тройной интеграл по области ограниченной снизу плоскостью сверху — плоскостью постоянного t и сбоку — указанной выше поверхностью S, на кото рой Применяя формулу Остроградского, легко по лучим неравенство

т. е.

откуда, в силу и (195), следует, что

Складываем (197) и (199)

где постоянная зависит от величины коэффициентов с и производных от Воспользуемся теперь неравенствами (186) и (187). Функция удовлетворяет условиям леммы с

Поэтому для нее верны оценки

и

где . Их называют энергетическими.

В силу предположения (182)

Не ограничивая общности, можно считать, что v, входящее в условие (182) удовлетворяет неравенствам . Тогда из Неравенства (201) следует оценка

Она справедлива для всех t из и для любых областей описанного выше типа Постоянные С и v в ней определяются только коэффициентами уравнения (181) и не зависят от взятого решения и и свободного члена

Приведенные в этом пункте оценки имеются в работах Фридрихса, Леви, Шаудера