125. Примеры.
Обратимся теперь к примерам построения функции Грина и начнем с построения этой функции для круга 
Мы имели раньше функцию, преобразующую этот круг в себя, при условии, что некоторая точка 
находящаяся внутри круга, переходит в начало. Эту функцию мсжно записать в виде 
где 
— комплексное число, сопряженное с 
и 
— точка, симметричная с а относительно окружности, т. е. а 
Обозначая через 
расстояния переменной точки 
до точек а и а, получим непосредственно следующее выражение функции Грина для круга;
Положим теперь, что область В есть прямоугольник с вершинами 
Полагая 
и 
строим функцию Вейерштрасса 
. Мы видели, что функция, преобразующая наш прямоугольник в единичный круг так, что точка 
переходит в начало, имеет вид 
Таким образом, мы имеем следующее выражение функции Грина для прямоугольника:
Теория функций комплексного переменного может быть применена и при построении функций Грина для многосвянной области, причем мы, как и выше, ограничиваемся предельным условием (189) на I. Пусть В, например, — двусвязная область, ограниченная внешним контуром 
и внутренним 
и пусть 
— функция Грина этой области. Строим функцию 
монически сопряженную с 
и функцию комплексного переменною 
. В точке 
которая является полюсом функции Грина, функция 
будет иметь логарифмическую особенность, а именно, в окрестности той точки она может быть представлена в виде суммы 
и слагаемого, регулярного в этой точке. Но, кроме того, при обходе по замкнутому контуру вокруг h функция 
будет приобретать некоторое чисто мнимое слагаемое 
а функция 
будет приобретать множитель 
, по модулю равный единице. Кроме того, эта последняя функция будет иметь в точке 
простой корень, а на контурах U и h ее модуль будет равняться единице, так как на этих контурах функция Грина 
обращается в нуль. Таким образом, построение функции Грина сводится к построению такой аналитической функции 
которая имеет внутри мноюсвязной области В однозначный модуль, равный единице на контуре области, и точку 
имеет единственным простым корнем.
В качестве примера рассмотрим случай кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями. Примем центр этих окружностей за начало и будем считать, что радиусы этих окружностей равны. 
где 
Этого всегда можно достигнуть при помощи подходящим образом выбранного преобразования подобия. Введем вместо z новую переменную v по формуле 
и рассмотрим наряду с h чисто мнимое число 
определенное формулой 
. Упомянутому выше кольцу соответствует на плоскости v часть полосы, образованной прямыми 
параллельными вещественной оси, и ограниченной двумя прямыми, параллельными мнимой оси, отстоящими друг от друга на расстоянии, равном двум
Функция 
как функция от v должна быть аналитической функцией во всей упомянутой полосе. Переход от и к 
равносилен обходу вокруг начала в кольце, и при этом 
должна приобретать множитель, по модулю равный единице. На границах 
полосы должно быть выполнено условие 
и если 
есть полюс функции Грина в плоскости z, то функция 
как функция от v должна иметь простые корни в точках 
, определяемых равенством 
. Этими точками и должны исчерпываться все корни 
внутри полосы. Мы можем считать а вещественным положительным числом. Этого всегда можно достигнуть простым поворотом кольца вокруг начала Нетрудно проверить, что функция
будет удовлетворять всем поставленным выше условиям. В написанной формуле 
суть функции, определенные нами в 
и буквой Р мы обозначили для определенности чисто мнимое решение уравнения 
Для проверки всех свойств функции 
нам надо использо вать таблицы (109) и (110) из [III; 178], а также тот факт, что при вещественных h функции 
имеют мнимые сопряженные значения для мнимых сопряженных значений v. Имея функцию 
мы получим функцию Грина по формуле
