15. Примеры.

1. Уравнение

является аналогом уравнения Клеро, которое рассматривали раньше [II; 11] Заменяя и q на как нетрудно проверить, получим его полный интеграл

Уравнение

имеет полный интеграл

и, применяя указанный выше метод, получим особый интеграл:

Если мы возьмем на этой поверхности любую линию:

то уравнения (86)

имеют решения и мы будем иметь вдоль линии (125)

Для уравнения

особый интеграл будет

Если решить уравнение относительно , то мы получим

и вдоль поверхности (126) частная производная от левой части уравнения по и обращается в бесконечность.

2. Пусть имеется уравнение, содержащее только и q:

Такое уравнение имеет очевидное решение:

где постоянные а и с должны удовлетворять соотношению . Решая его относительно получим полный интеграл уравнения в виде

Это уравнение дает некоторое семейство плоскостей. Общий интеграл будет огибающей семейства плоскостей с одним параметром, т. е. развертывающейся поверхностью [II; 153].

В качестве примера рассмотрим уравнение

Принимая во внимание, что направляющий косинус нормали к искомой поверхности с осью и выражается формулой

мы видим, что уравнение (127) сводится к требованию, чтобы нормали к искомой поверхности образовывали постоянный угол с осью и. Полный инте грал уравнения представляет собой семейство плоскостей

Система (68) напишется в виде

и ее решение, выраженное через начальные данные, будет

Мы получим характеристические полосы, если подчиним условию . Это будут некоторые прямые, и вдоль этих прямых и q сохраняют постоянные значения.

Пусть требуется провести интегральную поверхность через окружность

Уравнения (86) в данном случае имеют вид

откуда

Подставляя в первые три из уравнений (128), получим параметрическое уравнение искомой поверхности, выраженное через параметры s и

3. Более общим является следующий тип уравнений первого порядка:

Для нахождения полного интеграла положим, что обе части уравнения равны одной и той же постоянной Решая эти уравнения относительно и q, получим , и полный интеграл напишется в виде

где b — вторая произвольная постоянная. В применении к уравнению

этот прием дает

Пусть требуется провести интегральную поверхность через линию

Подставляя в (130) и дифференцируя по получим

Исключение t дает и мы получаем семейство интегральных поверхностей с одним параметром

и огибающая этого семейства приводит к искомой интегральной поверхности

Если бы в качестве начального данного мы взяли линию

то примененный выше прием привел бы нас к уравнениям

из которых следует и мы не смогли бы найти интегральной Поверхности, проходящей через линию (131) Нетрудно видеть, что линию (131) мы можем дополнить до характеристической полосы, полагая . Действительно, функции

удовлетворяют уравнению (129) и системе (107).

4. Если уравнение не содержит независимых переменных

то можно построить полный интеграл, если искать решение уравнения вида

где а — произвольная постоянная. В качестве примера рассмотрим уравнение

Совершая подстановку (132) и полагая получим

И интегрируя это обыкновенное дифференциальное уравнение, получим пол интеграл уравнения (133):

Система (68) для уравнения (133) имеет вид

и ее интегрирование дает

Пусть ищется интегральная поверхность, проходящая через прямую:

Для определения имеем уравнения

откуда Подставляя в первые три из уравнений и полагая получаем параметрические уравнения искомой поверхности, выраженные через параметры

или, в явной форме,