34. Характеристические полосы.

Будем рассматривать уравнение вида

в котором коэффициенты и свободный член суть заданные функции . Требуется найти интегральную поверхность этого уравнения, содержащую заданную полосу:

Мы имеем, очевидно,

и, присоединяя еще само уравнение, мы будем иметь три уравнения первой степени для определения производных второго

порядка от искомой функции на основной линии несущей на себе данные Коши:

В этой системе являются искомыми, а все остальные величины, в силу (29), суть известные функции параметра t. Если определитель написанной системы отличен от нуля, то мы получаем определенные значения для производных второго порядка. Таким образом, необходимым и достаточным условием несовместимости или неопределенности задачи разыскания производных второго порядка является равенство

или, в раскрытом виде

Найдем второе условие, которое бы гарантировало нам, что задача именно неопределенна, т. е. которое гарантировало бы нам, что система уравнений (31) имеет бесконечное множество решений. Буем считать, что один из миноров второго порядка определителя (31) отличен от нуля. Для определенности положим, что

В данном случае система (30) будет иметь один характеристический определитель и для того, чтобы она была неопределенной, необходимо и достаточно к условию (31) добавить еще равенство нулю этого характеристического определителя

или, в раскрытом виде:

Вспоминая еще равенство (23), мы получаем окончательно следующие три равенства, которые вполне характеризуют характеристическую полосу, как такую полосу, вдоль которой определение производных второго порядка из системы (30) приводит

к бесчисленному множеству ответов:

Разберем отдельно случай специальных данных Коши:

В данном случае в формулах (29) роль параметра t играет - переменная у, и переменная сохраняет постоянное значение Условие (32) приводит нас к равенству Отметим, что это равенство должно выполняться не тождественно, а после подстановки в функцию а начальных данных (35). Система (30) будет при этом иметь вид:

и для того, чтобы она была неопределенной, необходимо и достаточно, чтобы третье из написанных уравнений было следствием первых двух. Умножая это уравнение на и принимая во внимание первые два уравнения, мы приходим к следующему условию.

которое заменяет в этом случае условие (33). Окончательно, для специальных данных Коши (35) мы будем иметь следующие условия, определяющие характеристическую полосу:

Условие показывает, что из уравнения (28) нельзя найти Второе условие:

означает, что заданные на прямой величины и q таковы, что удовлетворяется уравнение (28), ибо на упомянутой прямой . Третье условие дает очевидную формулу: