139. Доказательство вспомогательной теоремы.

Прежде чем переходить к доказательству сформулированной в предыдущем параграфе теоремы, установим некоторые вспомогательные формулы и докажем ряд лемм.

Введем следующие обозначения:

В формуле (342) суммирование распространяется на те значения к, для которых . Функция неубывающая, неотрицательная функция :

Принимая во внимание, что при можем написать:

и, принимая во внимание (330), получим

т. е. отношение остается ограниченным при . Мы имеем далее

причем

и, принимая во внимание формулу (334), можем написать:

Но и из (345) следует, что при , так что последняя формула дает

Из (345) непосредственно следует, что подынтегральная функция при имеет порядок Для краткости записи введем одно обозначение. Если , где при то будем писать: Докажем две леммы:

Лемма I. Если определена при всех достаточно больших положительных X, имеет непрерывную производную, не убывает при возрастании X и , то .

Докажем сначала эту лемму при . Мы имеем и надо доказать, что т. е. надо доказать, что при к

Доказываем от обратного. Если не стремится к единице, то существует такая последовательность значений что , где число h отлично от единицы. Положим, например, что Пусть — некоторое положительное число. Принимая во внимание, что неубывающая функция, можем написать:

Правая часть стремится к числу , которое больше единицы, если взять достаточно близким к нулю. Но из непосредственно следует, что мы должны иметь

Это противоречие и доказывает лемму при . Переходим к общему случаю. Полагая , введем вместо новую функцию . Мы имеем

Таким образом, неубывающая функция, и мы можем применить к лемму при откуда следует:

откуда следует: что и доказывает лемму. Изложенное доказательство останется в силе и при Рассмотрим интеграл

Совершая замену переменных преобразуем интеграл к виду

Лемма II. Пусть

где . При этом

где зависящие от выбора а, стремятся к нулю при .

Мы имели формулу Стирлинга :

при . Применяя ее к правой части (348), получим

где при . Написанная дробь, умноженная на стремится к единице при и мы можем написать:

где Функция имеет при максимум, равный откуда следует:

где зависит от выбора а. Мы получаем таким образом

где , и совершенно аналогично

Мы имеем , где и зависит от выбора а. Из сказанного следует, что при

и, принимая во внимание (350), (351) и (352), получаем неравенства (349) для . Мы имеем далее

откуда и следует неравенство (349) для , и лемма доказана.

Переходим к доказательству теоремы, формулированной в [138]. По условию этой теоремы

Рассмотрим функцию и докажем, что ее производная положительна и не убывает при возрастании X:

Из последнего выражения и неубывания функции непосредственно следует, что и производная, стоящая в левой части формулы, положительна и не убывает. Мы можем, таким образом, применить к функции лемму I и получим, принимая во внимание (353),

откуда

Далее мы получаем

и можем опять применить лемму I к функции

откуда, производя дифференцирование и пользуясь получаем

Продолжая таким образом и дальше, придем к формуле

Изучим теперь асимптотическое поведение интеграла

при больших . Мы имеем

где

и, следовательно,

Принимая во внимание (356), получим

Первую из этих формул можно записать в виде

Докажем теперь формулу

Рассмотрим для этого интеграл

который при помощи замены и приводится к виду

Мы имеем

и интеграл (361) представляется в виде

Совершая замену , получим

и подставим это в формулу (363):

Сравнивая это с (362), получаем (360), и формула (359) принимает вид

или

где зависит от при фиксированном . Интеграл представим в виде суммы четырех слагаемых:

где . Из (345) следует:

где А — постоянная, и, следовательно,

откуда, в силу леммы II,

где зависит от при и фиксированном а. Совершенно так же получим

где аналогично . Оцениваем :

где В и постоянные (они не зависят от ). Отсюда следует:

и мы имеем

где С — постоянная. Из предыдущих формул следует:

Принимая во внимание определение и тот факт, что не убывает при возрастании , получим

откуда

Принимая во внимание (367), получим

Аналогично из (368) имеем

откуда

и, принимая во внимание лемму II и формулу (367), получим

Покажем теперь, что отношение стремится к при

Вообще число А будет одним из возможных предельных значений при если при любых заданных положительных ей М найдутся такие значения Аналогичным образом будет одним из возможных предельных значений если при любых заданных положительных М и N найдутся такие значения X, что и X М. При этом под возможным предельным значением мы понимаем такие значения А, что существует беспредельно возрастающая последовательность значений X такая, что . Нам надо показать, что существует только одно возможное предельное значение и что оно равно

Обращаемся к неравенствам (369) и (370) и отметим, что левая часть их не зависит от , которое входит в правые части неравенств Сначала фиксируем каким-нибудь образом и а и устремляем X к бесконечности так, чтобы левые части (369) и

(370) стремились к одному из возможных предельных значений А Мы получим при этом, принимая во внимание, что не зависят от :

Левые части (т е. А) не зависят ни от , ни от а, и считая, что фиксировано достаточно большим, а а достаточно близким к нулю, мы и получим, что единственным возможным значением А является , т. е. имеет место (371). Таким образом, утверждение (331) теоремы из [138] доказано. Приведенное выше доказательство принадлежит Харди и Литтльвуду. В работе упомянутых авторов установлено несколько более общее предложение, частным случаем которого является доказанная выше теорема