128. Нормальная производная собственных функций.
Для дальнейшего нам важно изучить поведение производных функций 
при приближении к 
Теорема. Функции 
имеют правильную нормальную производную на 
Составим потенциал объемных масс:
Он определен во всем пространстве, непрерывен, имеет непрерывные производные первого порядка, равен нулю на бесконечности, есть гармоническая функция внутри 
, а внутри 
имеет непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет уравнению:
Мы можем построить потенциал простого слоя;
удовлетворяющий на S предельному условию:
причем надо иметь в виду, что 
имеет производные первого порядка, непрерывные во всем пространстве. Составим функцию:
Она гармоническая внутри 
, равна нулю на бесконечности и имеет на S правильную нормальную производную извне, равную нулю К функции 
применима в 
формула Грина [102], из которой следует, что 
в 
, а тем самым и на S. Внутри 
функция 
удовлетворяет, в силу (244), уравнению
откуда следует, что в D, функция 
совпадает с 
т. е.
где 
определены выше. Из этого и свойств и но следует, что собственная функция 
имеет на S правильную нормальную производную. Благодаря этому, мы можем применить к функции 
гармонической) формулу Грина:
Принимая во внимание уравнение 
и условие (2372), а также нормированность функций 
, т. е.
мы получаем формулу
из которой следует, что все 
положительны. Последний результат можно получить и проще. Он непосредственно следует из теоремы, утверждающей, что уравнение (231) при 
и условии (232) имеет только нулевое решение. Эта теорема будет нами доказана в [136].
О более полных результатах по гладкости собственных функций вблизи S см. [143, 149].
В случае плоскости доказательство существования правильной производной у собственных функций проводится путем видоизменения предыдущего доказательства, аналогично тому, что мы делали в 
при доказательстве существования правильной нормальной производной у функции Грина
