5. Вспомогательная теорема.

В настоящем параграфе приведем доказательство теоремы, которую мы формулировали в [2]. Докажем сначала одно вспомогательное предложение. Положим, что правые части системы уравнений

содержат параметр . Пусть, далее, эти правые части — непрерывные функции, имеющие непрерывные производные по всем при

где а и заданные числа, и при изменении в некотором промежутке .

Пусть М — наибольшая величина абсолютных значений

при указанных значениях переменных. При этом система (41) имеет един ственное решение, удовлетворяющее начальным данным:

Это решение существует в промежутке где h — наименьшее из двух чисел А и и оно может быть получено в этом промежутке по методу последовательных приближений [II; 51]. Последовательные приближения, вычисляемые по формулам, указанным в [II; 51], будут непрерывными функциями , и, в силу равномерной сходимости последовательных приближений относительно мы можем утверждать, что и функции, дающие решение системы (41), удовлетворяющее начальным условиям (43), будут непрерывными функциями аргументов . Мы могли бы считать, конечно, что правые части уравнений (41) содержат не один, а несколько параметров.

Мы можем, таким образом, считать доказанной следующую лемму: Лемма. Если правые части уравнений (41) содержат некоторые параметры и удовлетворяют указанным выше условиям, то решение системы, удовлетворяющее начальным данным (43), где а и заданные числа, состоит из непрерывных относительно функций:

Замечание. Пусть значения, лежащие внутри области (42). Решения, удовлетворяющие начальным данным будут функциями этих начальных данных:

причем эти функции определены в некоторой окрестности . Если ввести новую независимую переменную и новые функции , то система перепишется в виде

т. е. начальные значения вгойдут в качестве параметров в правые части, а в начальные условия будут входить лишь определенные числа. В силу указанной выше леммы, мы можем утверждать, что функции (44.) суть непрерывные функции своих аргументов.

Перейдем теперь к доказательству теоремы, сформулированной в причем для простоты изложения рассмотрим сначала случай одною уравнения:

Положим, что правая часть непрерывна и имеет непрерывную производную по у при

Рассмотрим решение уравнения (45), удовлетворяющее начальному условию , где находятся внутри области (46). Это решение будет функцией от

и будет определено при достаточно близких к Изменим несколько начальное значение функции и рассмотрим новое решение:

Если достаточно мало по абсолютной величине, то решения (47) и (48) существуют в некоторой определенной окрестности значения .

Из уравнения (45) следует, что

и это уравнение мы можем переписать в виде

где

Это отношение мы считаем известной функцией от v и поскольку мы считаем известными решения (47) и (48). Нетрудно видеть, что функция является непрерывной функцией своих аргументов. Это очевидно для тех значений при которых . Если же при а функции и у имеют общий предел у, то из условия существования непрерывной производной непосредственно следует, что

т. е. и в этом случае функция (50) непрерывна. Деля обе части (49) на получим дифференциальное уравнение для отношения

При мы имеем , т. е.

Итак, отношение есть решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию:

Поскольку правая часть уравнения (53) есть непрерывная функция параметра при всех достаточно близких к нулю, то и решение а, удовлетворяющее условию (54), есть непрерывная функция и, в частности, существует предел упомянутого отношения при т. е. функция (47) имеет частную производную по Эта частная производная должна быть решением уравнения (53) при . Но, в силу и, следовательно, мы можем утверждать, что частная производная есть решение уравнения

удовлетворяющее условию (54). Поскольку правая часть уравнения (55) есть непрерывная функция параметров мы можем, пользуясь еще леммой, утверждать, что и частная производная есть непрерывная функция своих аргументов, и тем самым теорема доказана.

Замечание 1. Придавая некоторое приращение и повторяя предыдущие рассуждения, мы могли бы доказать тот факт, что функция (47) имеет непрерывную частную производную Эта частная производная также должна удовлетворять уравнению (55), но уже не начальному условию (54), а условию

Это условие получится непосредственно, если записать уравнение (45) с начальным условием в виде интегрального уравнения [II; 51]

Дифференцируя обе части по мы и получим вышеуказанное начальное условие для

Замечание 2. Предыдущее доказательство сохраняет свою силу и для системы уравнений (5). Мы будем иметь решение этой системы:

Придавая приращение получим другое решение:

Написав систему (5) для и вычитая почленно полученные уравнения, разность, получаемую в правой части, перепишем в виде

Для отношений получаем систему линейных уравнений

где

и начальные условия

В остальном доказательство получается таким же, и мы убеждаемся в существований у функций (56) непрерывных частных производных по Вместо уравнения (55) мы получаем для этих частных производных систему уравнений

причем, в коэффициенты этой линейной системы вместо у надо подставить функции (56). Начальные условия будут по-прежнему определяться формулами (57). Заметим, что систему (58) можно непосредственно получить, подставляя функции (56) в уравнения (5) и дифференцируя обе части по Но без предварительного доказательства мы не можем утверждать существование частной производной по и не можем, строго говоря, менять порядок дифференцирования по в левой части. Отметим еще, что в случае одного уравнения линейное однородное уравнение (55) интегрируется в конечном виде.

Замечание 3. Если правые части f уравнений (5) имеют, при условии (6), непрерывные частные производные по до некоторого порядка , то и функции имеют непрерывные частные производные по до порядка Если имеют непрерывную частную производную по то из самого уравнения (5) следует, что будет иметь непрерывные производные второго порядка по х