133. Предельные задачи для уравнения Гельмгольца.

Решение (258) уравнения (252) имеет при полярность у, и это дает нам возможность построить для уравнения (252) теорию потенциала, совершенно аналогичную теории ньютонова потенциала для уравнения Лапласа. Обозначая через

расстояние между переменной точкой N поверхности S и точкой Р, мы будем иметь в трехмерном случае следующие аналоги потенциалов простого и двойного слоя:

где — направление внешней нормали к S в переменной точке N. Выделяя из ядра полярное слагаемое у, мы получим обычные потенциалы, в которых предельный переход при стремлении Р на поверхность совершается по формулам из [95] и . В оставшемся интеграле ядро уже не будет иметь сингулярности при и возможен предельный переход под знаком интеграла. Мы получаем таким образом формулы, совершенно аналогичные формулам из [95] и

и

причем в (266) ядро интеграла представляет собою значение производной по направлению нормали в точке а в (267) по направлению нормали в точке N; интегрирование, как во всех аналогичных формулах, ведется по

В плоском случае мы имеем потенциалы простого и двойного слоя:

и для них имеют место формулы, совершенно аналогичные формулам (266) и (267), причем справа множитель надо заменить на . Написанные потенциалы удовлетворяют уравнению (252), и, в силу специального выбора ядер, каждый элемент написанных интегралов и сами эти интегралы удовлетворяют прин ципу излучения.

Введем ядро

где угол, образованный направлением с направлением . Транспонированное ядро будет

где угол, образованный нормалью по в точке с направлением . Совершенно так же, как и для уравнения Лапласа, можно поставить задачи Дирихле и Неймана.

Внутренняя задача Дирихле состоит в отыскании внутри S решения уравнения (252), удовлетворяющего на S предельному условию

Аналогично формулируется и внешняя задача, причем на бесконечности должен быть выполнен принцип излучения. В случае задачи Неймана мы имеем предельное условие

Из теоремы единственности [131] вытекает, что внешние задачи могут иметь только одно решение. Для внутренних задач мы имеем единственность не при всяких

Число называется собственным значением внутренней задачи Дирихле, если существует внутри S решение уравнения (252), удовлетворяющее на S однородному предельному условию: . Аналогично определяются собственные значения внутренней задачи Неймана.

Если мы будем искать решение внешней задачи Дирихле в виде потенциала двойного слоя и внутренней задачи Неймана в виде потенциала простого слоя, то придем к союзным интегральным уравнениям:

где переменная точка S. Пусть не есть собственное значение внутренней задачи Неймана. Покажем, что при этом однородное уравнение (269) имеет только нулевое решение. Будем доказывать от обратного. Пусть оно имеет решение, отличное от нулевого. При этом и однородное уравнение (270) должно иметь решение отличное от нулевого. Составляя потенциал простого слоя с плотностью получим решение уравнения (252) с однородным предельным условием

Но раз не есть собственное значение внутренней задачи Неймана, то это решение должно равняться нулю внутри S. В силу непрерывности, упомянутый потенциал простого слоя должен равняться нулю и на S, а тогда, согласно теореме единственности, он должен равняться нулю и вне . При этом, в силу формулы, аналогичной должно тождественно равняться нулю.

Полученное противоречие доказывает, что если не есть собственное значение внутренней задачи Неймана, то однородное уравнение (269) имеет только нулевое решение, следовательно, неоднородное уравнение разрешимо при любом т. е. при любом внешняя задача Дирихле имеет решение в виде потенциала двойного слоя. Совершенно аналогично, если не есть собственное значение внутренней задачи Дирихле, то внешняя задача Неймана имеет решение в виде потенциала простого слоя.

В книге: Купрадзе В. Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. — М., Гостехиздат, 1950, подробно излагаются исследования автора, посвященные установившимся режимам в электродинамике и теории упругости, и в частности задаче дифракции, о которой мы будем говорить в следующем параграфе. В упомянутой книге разобраны и те случаи, когда есть собственное значение внутренней задачи Дирихле или Неймана, и показано, как и в этих случаях строятся решения внешних задач.

Покажем теперь, что всякое решение уравнения (252) с непрерывными производными до второго порядка внутри некоторой области D будет аналитической функцией координат. Для этого достаточно показать, что будет аналитической внутри некоторой сферы с центром в любой точке лежащей внутри

Попытаемся представить внутри в виде потенциала двойного слоя (265). Для плотности этого слоя мы придем к интегральному уравнению:

где значения v(P) на сфере Радиус этой сферы можно взять настолько малым, чтобы уравнение

имело только нулевое решение. Докажем это. Пусть первое собственное значение уравнения при предельном условии если сфера с радиусом, равным единице, Совершая преобразование подобия, мы убедимся без труда В том, что первое собственное значение для сферы с радиусом R разно и число R можно взять настолько малым, чтобы было больше числа При этом внутренняя задача Дирихле для уравнения с однородным граничным условием имеет только нулевое решение. Интегральное уравнение (272) естьуравнение для плотности потенциала двойного слоя, который дает решение упомянутой только что однородной внутренней задачи Дирихле. Принимая во внимание, что эта задача имеет только нулевое решение, и рассуждая совершенно так же, как и в [109], Мы и получим, что уравнение (272) для сферы радиуса R имеет только нулевое решение. При таком выборе мы сможем утверждать существование решения у уравнения (271) и будем иметь

или

где R — радиус Подынтегральная функция есть аналитическая функция координат точки Р, лежащей внутри и из (273) следует, что и -аналитическая функция (х, у, z) (ср. [61]). Аналогично проводится доказательство и в плоском случае при помощи соответствующего сингулярного решения, которое мы укажем ниже.

Мы можем для уравнения (252) построить функцию Грина совершенно так же, как это мы делали для уравнения Лапласа. В трехмерном случае основное сингулярное решение этого уравнения можно написать в виде Функцию Грина, соответствующую условию

надо искать в виде

где удовлетворяет внутри D уравнению (252), а на S предельному условию

Если не есть собственное значение уравнения (252) при предельном условии (274), то мы можем построить такую функцию.

В плоском случае решения уравнения (252), зависящие только от расстояния имеют вид где любое решение уравнения Бесселя, соответствующее значку нуль:

В качестве решения этого уравнения возьмем функцию Неймана :

Основное сингулярное решение, имеющее в точке Q полярность будет

Из (278) следует, что, помимо указанного полярного члена, мы будем иметь в выражении функции (279) члены вида содержащие . Эти члены стремятся к нулю при Непосредственным дифференцированием нетрудно убедиться, что и их производные первого порядка по координатам стремятся к нулю, и потому они имеют непрерывные производные первого порядка в . Пусть k не есть собственное значение уравнения (252) при предельном условии вида (274). Нетрудно построить при таких значениях k функцию Грина уравнения (252).

Будем искать эту функцию Грина в виде

Поскольку первое слагаемое в правой части удовлетворяет уравнению и имеет требуемую полярность, вопрос приводится к определению слагаемого так, чтобы оно не имело уже полярности, удовлетворяло уравнению (252), а на контуре l удовлетворяло бы следующему неоднородному предельному

условию:

Принимая во внимание, что к не есть собственное значение, мы получим одну определенную функцию удовлетворяющую этим условиям.

Возвращаясь опять к трехмерному случаю, отметим еще одну формулу, связанную с уравнением (252). Пусть - какое-нибудь сингулярное решение этого уравнения с полярностью и пусть какая-нибудь функция, имеющая в области и вплоть до S непрерывные производные до второго порядка. Рассуждая совершенно так же, как в [II; 203]; получим

Если v удовлетворяет уравнению (252), то тройной интеграл равен нулю. Применим полученную формулу для того случая, когда S есть сфера радиуса R и центр, и, считая, что в качестве возьмем функцию:

В результате мы получим

и справа стоит среднее от v по сфере . Эта формула обобщает свойство среднего гармонических функций.