87. Теоремы единственности.

Мы установили существование решений уравнений (70) и (79) при соответствующих предельных и начальных условиях. Докажем теперь единственность та решений.

Начнем с уравнения (70) при и будем предпола гать, что решения непрерывны при что при

всяком решение имеет непрерывную производную по t и производные по х до второго порядка, непрерывные в промежутке Решение именно с такими свойствами и было нами построено в [85].

Утверждение о единственности решения равносильно тому, что решение уравнения (70) с указанными выше свойствами, удовлетворяющее однородному начальному условию

и предельным условиям (72), равно тождественно нулю при

Напишем для уравнение (70), умножим обе его части на и проинтегрируем по При этом считается Мы получим, таким образом, формулу

Все операции выполнимы в силу упомянутых выше свойств . В первом интеграле правой части интегрируем по частям и принимаем во внимание предельные условия. Таким образом, получаем

Таким образом, неотрицательная функция от t

непрерывная при и равная нулю, в силу (89), при имеет неположительную производную при Отсюда следует, что функция (90) тождественно равна нулю при . Но тогда и при , что мы и хотели доказать.

Переходим теперь к доказательству теоремы единственности для уравнения (79) при Будем предполагать, что сами решения и их производные непрерывны в промежутке и при любом t. Решение с такими именно свойствами и было нами построено в [86]. Утверждение о единственности решения равносильно тому, что решение уравнения (79) с указанными выше свойствами, удовлетворяющее однородным начальным условиям

и предельным условиям (72), равно тождественно нулю,

Введем функцию

Она имеет непрерывные производные при указанных значениях переменных. Напишем для уравнение (79) и проинтегрируем его по на промежутке от до . Принимая во внимание (91) и (92), получим

В этом уравнении заменим t на , умножим обе части на и проинтегрируем по на промежутке от до . Принимая во внимание (91) и (92), получим

Интегрируем обе части по на промежутке повторном интеграле меняем порядок интегрирования:

Во внутреннем интеграле проинтегрируем по частям и учтем, что, в силу (91) и (92), внеинтегральный член равен нулю:

Меняя опять порядок интегрирования, производя интегрирование по и принимая во внимание, что , получим

откуда следует

и потому при . В силу (92), получаем что мы и хотели доказать. Заметим, Что условие можно отбросить.