Главная > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

77. Собственные значения и собственные функции предельной задачи.

Поскольку мы привели предельную задачу к интегральному уравнению, мы можем использовать результаты общей теории интегральных уравнений и получить таким образом ряд утверждений, касающихся собственных значений и собственных функций предельной задачи. Рассмотрим сначала случай когда уравнение (1) имеет вид

причем мы считаем предельные условия такими, что функция Грина симметрична. Интегральное уравнение (12) будет уравнением с симметричным ядром. Оно будет иметь вещественные собственные значения, и его собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, будут ортогональны, В данном случае, как мы видели выше [74], всякому собственному значению будет соответствовать только одна собственная функция. Это мы доказали для предельных условий вида (2). В случае периодических предельных условий собственному значению могут соответствовать две собственные функции, но не

больше, поскольку уравнение (16) имеет только два линейнонезависимых решения. Докажем еще, что ядро уравнения (16) есть полное ядро, т. е. что не существует непрерывной функции не равной тождественно нулю и ортогональной к ядру. Положим, наоборот, что такая функция существует:

Мы получим тогда, что функция (9), с одной стороны, должна обращаться тождественно в нуль и, с другой стороны, должна, в силу доказанного выше, удовлетворять неоднородному уравнению (8), что невозможно. Из полноты ядра вытекает, как из вестно [IV,; 42] существование бесчисленного множества собственных значений. Пусть - собственные значения уравнения (16), т. е. нашей предельной задачи, и соответствующие собственные функции, образующие ортогональную и нормированную систему. Положим, что функция удовлетворяет предельным условиям и имеет непрерывные производные до второго порядка. Полагая мы полу представление этой функции через ядро

и, следовательно, всякая функция, удовлетворяющая предельным условиям и имеющая непрерывные производные до второго порядка в промежутке разлагается в этом промежутке в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям Легко доказать еще следующую теорему.

Теорема. Если ряд Фурье непрерывной функции

равномерно сходится в промежутке то его сумма равна .

Доказываем от обратного. Пусть сумма ряда (17), и положим, что не равно тождественно в функции При этом разность не равная тождественна нулю, ортогональна ко всем функциям , а тем самым ортогональна ядру, что противоречит доказанной полноте ядра. будем дальше пользоваться доказанной теоремой.

Можно показать, что не только ядро полное, но и что собственные функции образуют замкнутую систему.

Отсюда непосредственно будет следовать и доказанная выше теорема.

Ниже, при рассмотрении многомерного случая, мы дадим доказательство того, что для любой непрерывной функции имеет место уравнение замкнутости. Это доказательство будет годиться и для одномерного случая.

Рассмотрим теперь тот случай, когда отлично от единицы, и будем считать эту функцию положительной. Пользуясь результатами из мы видим, что и в этом случае предельная задача для уравнения (1) приводится к интегральному уравнению с симметричным ядром. В частности, всякая функция, удовлетворяющая предельным условиям и имеющая в промежутке непрерывные производные до второго порядка, разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям задачи

коэффициенты которого определяются по формулам

Для доказательства этого утверждения мы заметим, что, согласно сказанному в [75], имеем

Но мы можем, очевидно, написать где, в силу функция непрерывна в промежутке Таким образом, мы имеем для функции представление через ядро симметричного интегрального уравнения

и рассуждения из [IV,; 44] сразу дают нам формулированную выше теорему разложения. Так же, как и выше, может быть доказана замкнутость ядра и, следовательно, существование бесчисленного множества собственных значений. Повторяя рассуждения из [74] для того случая, когда имеет непрерывную первую производную и кусочно-непрерывную вторую производную и вспоминая, что теорема II из справедлива и в

случае представления функции через ядро при помощи кусочнонепрерывной функции к мы можем убедиться в том, что формулированная выше теорема разложения справедлива и для того случая, когда функция удовлетворяющая предельным условиям, имеет непрерывную первую производную и кусочно-непрерывную вторую производную. В дальнейшем мы укажем на те случаи, когда при формулировке теорем разложения можно допустить и кусочную непрерывность первой производной.

1
Оглавление
email@scask.ru