10. Единственность решения.

При решении задачи Коши мы строили интегральную поверхность при помощи характеристических полос. Единственность решения задачи на первый взгляд получается непосредственно из того, что всякая интегральная поверхность сможет быть покрыта характеристическими полосами. Но при доказательстве этого мы использовали существование непрерывных производных второго порядка у функции При сделанных выше предположениях мы получили в [9] решение задачи, у которого имеет непрерывные производные второго порядка. Но указанное простое доказательство единственности не годится, если предполагать лишь непре рывные производные первого порядка у функции

Нетрудно доказать теорему единственности и в предположении, что существуют лишь непрерывные производные первого порядка. Мы сделаем это для (82) при условии Коши (81). Доказательство основано на следующей лемме:

Лемма. Пусть функция - непрерывна в замкнутом треугольнике , образованном прямыми

определена и имеет непрерывные производные первого порядка при в более широком треугольнике, образованном прямыми

Пусть далее эти производные во всем треугольнике А, кроме основания удовлетворяют условию

а на основании имеет место неравенство

Тогда во всем треугольнике А имеет место неравенство

Докажем сначала эту лемму при . Будем рассуждать от обратного. Пусть в А имеются точки, в которых При этом функция должна была бы достигать наибольшего абсолютного значения не на основании.

Поскольку все условия содержат лишь абсолютные значения функции и ее производных, мы можем, меняя, если это надо, знак у и считать, что произведение и достигает наибольшего положительного значения не на основании . При этом можно фиксировать столь малое положительное число что функция

будет достигать наибольшего положительного значения не на основании . Приведем это к противоречию. Если это имеет место внутри , то мы должны иметь в соответствующей точке откуда следует: их а это противоречит (90) при . Если это имеет место на стороне в вершине , то в соответствующей точке мы должны иметь и, дифференцируя

вдоль этой стороны, получим . Это приводит к формулам

которые опять противоречат (90) при Если это имеет место на стороне то аналогично получим откуда

что опять находится в противоречии с (90) при Положим, наконец, что функция (93) достигает наибольшего положительного значения в вершине треугольника А. Мы должны иметь во всяком случае в этой точке т. е. . Если при этом , то мы опять пришли к противоречию с (90). Если в вершине то, дифференцируя вдоль стороны и получим что приводит к неравенствам их и, что прфтиворечит (90) при Если же в вершине то, дифференцируя вдоль стороны придем, как и выше, к противоречию. Итак, лемма доказана при Распространим ее на общий случай. Мы имеем в треугольнике со сторонами (88) условия (90) и (91). Введем новые независимые переменные Треугольник А перейдет в треугольник А со сторонами

и вместо (90) мы будем иметь

а условие (91) по-прежнему будет иметь вид . В силу доказанного выше, мы получим в или, возвращаясь к прежним независимым переменным, получим неравенство (92) в А.

Переходим к доказательству единственности решения уравнения (82) при условии (81) и сделанных выше предположениях. Пусть имеются два решения в полосе хоххи причем пусть не превосходят какого-либо числа Относительно достаточно предположить, что при любых из этой полосы и не превосходящих по модулю выполняется неравенство

где А и В — некоторые постоянные. Вычитая из уравнения (82) для уравнение (82) для и используя это свойство получим

Применяя к разности доказанную лемму и принимая во внимание, что эта разность обращается в нуль при мы из (92) видим, что в любом треугольнике А, т. е. единственность решения доказана. Общий случай уравнения (59) при данных Коши на любой кривой можно привести к разобранному выше при помощи замены переменных и решения дифференциального уравнения относительно одной из производных. Это мы уже делали в [9].

Рассмотрим теперь в треугольнике А два решения уравнения (82) при различных условиях:

Применяя к разности лемму, получим следующее неравенство в треугольнике А:

Это неравенство доказывает непрерывную зависимость решения от начальных данных входящих в формулу (81).

Отметим еще одно обстоятельство, связанное с решением задачи Коши. Если функция не имеет непрерывной производной второго порядка, то применение метода Коши может привести к поверхности для которой не имеет производной. Можно показать, что в таком случае задача не имеет решения с непрерывной производной [Xаар (Нааr). - Acta Szeged, 1928, 4, № 2]. Доказательство указанной выше леммы в более общем случае и ее применения к доказательству теорем единственности для уравнений с частными производными можно найти в статье: Мышкис А. Д. Единственность -ния задачи Коши. — УМН, 1948, 3, № 2.