57. Теоремы единственности и непрерывной зависимости решений.

Из доказанных неравенств легко следует теорема единственности решения задачи Коши и непрерывная зависимость решения туг начальных данных и свободного члена уравнения. Рассматривая разность двух решений задачи Коши при одинаковых начальных данных, мы приводим теорему единственности к следующему, если свободный член f в уравнении (181) равен Булю и начальные данные имеют вид

то и решение задачи должно быть Проведем через какую-либо точку характеристический коноид и положим, что он вместе с плоскостью образует область D указанного выше типа. Пусть - решение задачи при и с начальными условиями (203), непрерывное вместе с производными до второго порядка в области D. Мы можем применить, например, неравенство (201), причем из сказанного выше следует, что Таким образом

и, следовательно, в D. Это утверждение сохранит свою силу, если однородные начальные условия (203) имеют место

не на всей плоскости но лишь на основании области D, ибо при этом одном Отсюда можно заключить что значение решения однородного уравнения (181) в точке зависит от значений начальных данных только на основании характеристического коноида с вершиной При этом предполагается, что этот коноид вместе с плоскостью образует область D указанного типа.

Совершенно так же, как и выше, непрерывная зависимость решения от начальных данных сводится к тому, что если и функции входящие в начальные условия

малы (в каком-либо смысле), то в известном смысле и решение также мало. Положим, что малость начальных данных мы понимаем в том смысле, что интегралы малы, т. е. положим, что мы имеем неравенства где е — малое положительное число. При этом из (201) непосредственно следует, что во всей области Ьимеют оценку вида

Непрерывную зависимость от начальных данных можно доказать не только в смысле оценок интегралов но и а смысле оценки абсолютного значения самой функции, если т. е. если мы имеем две независимые переменные и t. Это непосредственно следует из метода Римана [45], если уравнение приведено к той канонической форме, которая была принята при применении метода Римана. Если число независимых переменных больше двух, то, пользуясь указанными неравенствами, нельзя из малости получить малость . Рассмотрим при помощи выведенных выше неравенств случай .

При этом мы имеем независимые переменные и область D есть трапеция с криволинейными, вообще говоря, боковыми сторонами. Прямая имеет уравнение Положим, что есть уравнение стороны стороны . Мы считаем, что не только функции входящие в начальные условия (204), но и производная малы по абсолютной величине. При этом и интегралы от квадратов этих величин по основанию АВ области будут малы, и тем самым будут малы величины причем в данном случае мы имеем

где . Из малости следует, в силу указанных выше оценок, малость величин при откуда мы можем заключить о малости интегралов

Положим, что эти интегралы не превышают некоторого положительного числа . Мы имеем, применяя неравенство Буняковского,

откуда

где .

Благодаря неравенству Буняковского получаем оценку

Из (206) следует

Интегрируя обе части по в пределах и пользуясь (207), получим

где равно разности так что Пользуясь (208), получаем, на основании указанного только что неравенства, оценку

где оценка интегралов . Таким образом, мы и имеем искомою оценку во всей области , считая . Переходим теперь к оценке решения в зависимости от свободного члена .

Положим, что при однородных начальных условиях (203) свободный член отличен от нуля. Пусть , где положительное число; тогда, используя (196) и (201), получим

Можно использовать оценку не а величины входящей в формулу (201).

Интегралы для разности двух решений уравнения (181) с различными свободными членами, но с одинаковыми начальными условиями, сколь угодно малы, если достаточно мало абсолютное значение разности

При n = 1 мы, как и выше, можем получить отсюда оценку и для .