31. Уравнения с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение (1) с постоянными коэффициентами и выпишем соответствующую квадратичную форму. Попытаемся при помощи линейного преобразования независимых переменных привести совокупность членов, содержащих вторые производные в уравнении (1), к простейшему виду. Итак, введем вместо новые независимые переменные при помощи линейного преобразования

причем мы считаем, конечно, что определитель, составленный из коэффициентов этого преобразования, отличен от нуля. Производные по старым переменным выразятся через производные по новым переменным по следующим формулам:

Подставляя в уравнение (1), мы получим преобразованное уравнение вида

где новые коэффициенты выражаются через старые, согласно формулам

Если мы, с другой стороны, в квадратичной форме (2) вместо переменных введем новые переменные при помощи таблицы, транспонированной по отношению к таблице но только будем выражать при помощи этой таблицы старые переменные

через новые, т. е. положим

то нетрудно проверить, что преобразованная квадратичная форма будет иметь как раз коэффициенты определяемые формулами (3), т. е.

Но, как мы знаем, всегда можно подобрать коэффициенты так, чтобы квадратичная форма (2) привелась к сумме квадратов, т. е.

или, иначе говоря, при Знаки коэффициентов и определят тип уравнения. Сохраняя прежнее обозначение для независимых переменных, мы получим преобразованное уравнение вида

Если уравнение линейно и с постоянными коэффициентами не только относительно производных второго порядка, то преобразованное уравнение будет иметь вид

Добавляя к независимым переменным подходящим образом подобранный численный множитель, мы всегда можем достигнуть того, чтобы коэффициенты h, отличные от нуля, были равны или . Положим, что все отличны от нуля, и покажем, что в этом случае при помощи элементарного преобразования функции и мы можем освободиться и от членов, содержащих первые производные, а именно введем вместо и новую искомую функцию v по формуле

Подставляя в уравнение (4), мы получим, как это нетрудно проверить, уравнение вида

Для уравнения эллиптического типа все h — одного знака, и

умножая, если надо, обе части уравнения на мы можем считать, что все положительны. Вводя вместо новые независимые перемшные мы освободимся от коэффициентов и, сохраняя прежние обозначения, можем утверждать, что всякое линейное уравнение эллиптического типа с постоянными коэффициентами может быть приведено к виду

Любое гиперболическое уравнение с постоянными коэффициентами приводится к виду

а параболическое к виду

причем независимую переменную называют временем и обозначают через t.