112. Интегральное уравнение сферических функций.

Рассмотрим однородное уравнение (133) для случая сферы с центром в начале и радиусом единица. В данном случае направление есть направление радиуса так что однородное уравнение (133) будет иметь вид

Мы пришли бы к тому же самому уравнению, если бы исходили и из уравнения (132). Интеграл, стоящий справа, представляет собою значение в точке потенциала сферического слоя с плотностью

Рассмотрим сначала этот потенциал в точке находящейся внутри сферы. Обозначая через расстояние и через будем иметь разложение

где - полиномы Лежандра и — угол, образованный радиусами-векторами ОМ и ON. Возьмем за некоторую сферическую функцию порядка :

Пользуясь написанным выше разложением, равномерно сходящимся при , мы получим

что непосредственно вытекает из следующих формул :

При совпадении точки М с точкой лежащей на сфере, мы будем иметь

Отсюда видно, что суть собственные значения уравнения (148), и всякому такому собственному значению соответствуют собственных функций, а именно этими собственными функциями являются сферические функции порядка n. Первому собственному значению соответствует собственная функция, равная постоянной (электростатическая плотность для случая сферы).

Покажем теперь, что уравнение (148) не имеет других собственных значений и что всякому собственному значению не соответствуют никакие другие собственные функции, кроме указанных выше сферических функций. Пусть X есть некоторое собственное значение уравнения (148), отличное от указанных выше, соответствующая собственная функция. Ядро уравнений (148) есть симметричная функция N и а потому должна быть ортогональна ко всем сферическим функциям и, в частности, к

При этом из разложения (149) вытекает, что потенциал сферического слоя с плотностью равен нулю везде внутри сферы, а следовательно, и везде на сфере. Но тогда интегральное уравнение (148) покажет нам, что тождественно равно нулю на всей сфере, что не должно иметь места для собственной функции. Рассмотрим теперь собственное значение Если бы ему соответствовала какая-нибудь собственная функция, которая не является сферической функцией порядка , то мы могли бы считать, что эта собственная функция ортогональна ко всем сферическим функциям и, повторяя предыдущие рассуждения, убедились бы, что эта функция должна равняться тождественно нулю на всей поверхности сферы.

Таким образом, сферические функции представляют собою полную совокупность всех собственных функций интегрального уравнения (148).