36. Вещественные и мнимые характеристики.

Поскольку коэффициенты уравнения (28) могут зависеть не только от x и у, но и от , мы можем определить тип уравнения, лишь фиксируя некоторую точку в пятимерном пространстве . При этом, если то мы имеем гиперболический тип, если то эллиптический, и если то — параболический. Пусть нам задана некоторая полоса (29), которую мы считаем вещественной. Если вдоль этой полосы наше уравнение принадлежит эллиптическому типу, то выраже-. ние, стоящее в левой части условия (32), не может обращаться в нуль и, следовательно, никакая вещественная полоса не может быть характеристической полосой. В дальнейшем мы будем

рассматривать только гиперболический тип. Уравнение (32) представляет собою квадратное уравнение относительно . В случае гиперболического типа оно имеет два вещественных различных корня, которые мы обозначим через так что упомянутое выше уравнение распадается на два, Мы можем таким образом вместо уравнений (34) написать две системы уравнений:

которым соответствуют две системы характеристик.

Особенно просто обстоит дело в том случае, когда в уравнении (28) стоящие при производных второго порядка коэффициенты и с зависят только от независимых переменных . При этом основное уравнение (32) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными х и у:

В гиперболическом случае оно определяет на плоскости два семейства линий, которые называются обычно характеристическими линиями или характеристиками уравнения (28.). Характерное свойство всякой характеристической линии состоит в том, что если мы зададим вдоль такой линии некоторые данные Коши, т. е. функцию и и ее производные первого порядка, то полученная таким образом полоса или приведет к несовместной системе (30) для производных второго порядка, или же окажется характеристической полосой. Для всякой линии, отличной от характеристики, любые данные Коши приведут к определенным значениям производных второго и следующих порядков. В эллиптическом случае уравнение (32) будет иметь мнимые корни для и мы не будем иметь характеристических линий на плоскости мы перейдем к комплексным значениям переменных то сможем получить из уравнения (32) мнимые характеристики. При этом, конечно, все функции считаются аналитическими. Наконец, в параболическом случае уравнение (32) даст нам на плоскости одно семейство характеристик. Обращаясь к результатам (32), мы видим, что при приведении уравнения к канонической форме мы выбирали за координатные линии на плоскости семейство характеристических линий.