40. Характеристики при любом числе независимых переменных.

Будем рассматривать теперь уравнение второго порядка с любым числом независимых переменных:

причем ненаписанные члены не содержат производных второго порядка. Коэффициенты будем считать пока зависящими только от независимых переменных . В данном случае мы ограничимся выяснением только того условия, при котором уравнение (48), совместно с начальными данными Коши, не дает возможности однозначного определения производных второго порядка, т. е. приводит к несовместности или неопределенности при разыскании этих производных. Это условие аналогично условию (32) в случае двух независимых переменных. Мы начнем рассмотрение нашей задачи с того случая, когда начальные данные Коши имеют специальную форму:

Эти начальные данные дают нам возможность определить на гиперплоскости все производные первого порядка и все производные второго порядка, кроме Для определения этой последней производной мы должны воспользоваться самим уравнением (48), положив в нем Если при этом окажется, что , то мы будем иметь определенное значение для упомянутой производной. Если же после указанной подстановки

окажется, что то мы или придем к невозможному равенству, или получим тождество. Таким образом, в случае специальных данных Коши, искомое условие имеет вид

Перейдем теперь к общему случаю, когда начальные данные Коши даны на некоторой гиперповерхности:

Кроме функции , входящей в последнюю формулу, введем еще функцию так, чтобы мы могли совершить замену независимых переменных:

т. е. так, чтобы последние уравнения были разрешимы относительно Выразим производные по старым переменным через производные по новым переменным, выписывая лишь те члены, в которые входят интересующие нас производные:

Преобразованное уравнение будет иметь вид

невыписанные члены не содержат производной . В силу (51) начальные данные для преобразованного уравнения задаются на гиперплоскости т. е. они имеют специальный вид. Таким образом, в данном случае мы можем воспользоваться условием (49), но только в новых независимых переменных. Принимая во внимание (52), мы можем, таким образом, утверждать, что для того, чтобы начальные данные Коши на гиперповерхности (50) приводили к несовместности или неопределенности при отыскании производных второго порядка, необходимо и достаточно, чтобы функция удовлетворяла уравнению

причем это последнее уравнение должно быть удовлетворено при т. е., иначе говоря, в силу уравнения (50). Всякую гиперповерхность; удовлетворяющую этому условию, мы назовем характеристической поверхностью или характеристикой уравнения (48).

Если мы фиксируем какую-либо точку то в эюй точке коэффициенты будут иметь фиксированные значения, которые мы обозначим Направление вектора, вещественные составляющие которого удовлетворяют уравнению

назовем характеристическим направлением нормали в точке . Уравнение (53) равносильно тому, что в каждой точке поверхности направление нормали к этой поверхности есть характеристическое направление нормали. Если поверхность такова, что ни в одной ее точке направление нормали не характеристическое, т. е. левая часть уравнения (53) отлична от нуля вдоль всей поверхности, то из сказанного выше следует, что, совершая замену переменных (51), мы можем переписать уравнение (48) в виде

причем поверхность S переходит в плоскость Это дает возможность преобразовать задачу Коши при начальных данных на упомянутой поверхности в задачу Коши с начальными данными на плоскости Если уравнение (48) имеет аналитический характер — например оно линейно и с аналитическими коэффициентами, поверхность S нехарактеристическая и — аналитическая функция, то преобразованная задача Коши может быть, при надлежащих условиях, решена согласно теореме Ковалевской. Если поверхность есть характеристическая, то функция и и ее частные производные первого порядка должны быть связаны на ней некоторым соотношением. Действительно, и и ее частные производные на S выражаются через такие же величины на плоскости и наоборот. Пусть

Если есть характеристическая поверхность, то в преобразованном уравнении при и мы имеем уравнение

где ненаписанные члены содержат лишь производные первого порядка. Таким образом получается связь между функциями

Это соотношение не приводится, вообще говоря, к тождеству относительно

Положим теперь, что коэффициенты зависят не только от но и от u и Начальные данные Коши на -мерном многообразии (50) зависят от параметров. Будем считать, что этими параметрами являются . Подставляя эти выражения начальных данных в коэффициенты , мы по-прежнему будем иметь уравнение (53), которое должно быть выполнено в силу (50), и можем решить, является ли поверхность характеристической при заданных начальных данных.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь того случая, когда коэффициенты зависят только от Заметим, что если уравнение (48) принадлежит эллиптическому типу, то уравнение (53), как и в случае двух независимых переменных, не может иметь вещественных решений, кроме . Последнее решение, очевидно, не представляет интереса для нашей задачи.