§ 2. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

94. Ньютонов потенциал.

Мы переходим сейчас к рассмотрению предельных задач для уравнений с частными производными. Начнем с уравнения Лапласа. Мы уже решали задачу Дирихле для этого уравнения в случае круга и сферы. Кроме уравнения Лапласа, мы рассмотрим в настоящем параграфе и другие уравнения эллиптического типа. Для этих уравнений можно ставить задачи, аналогичные задачам Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. Физически уравнения эти возникают обычно при рассмотрении статических задач или установившихся режимов. Напомним, что самое уравнение Лапласа получается, например, при рассмотрении электростатического поля и установившегося потока тепла.

Большое значение при рассмотрении предельных задач для уравнения Лапласа имеет ньютонов потенциал. Напомним основные определения, касающиеся ньютонова потенциала, а также введем и некоторые новые понятия.

Пусть D — ограниченная область трехмерного пространства, непрерывная функция точки в этой области и — расстояние от точки М до переменной точки N области D. Потенциал объемных масс определяется, как известно, формулой

Точно так же потенциал простого слоя, распределенного по поверхности S с плотностью определяется формулой

Как мы знаем [II; 90, 210], вне масс функции имеют производные всех порядков и удовлетворяют уравнению Лапласа. Для дальнейшего изложения важно прежде всего указать те ограничения, которые мы будем налагать на поверхность S, которую в дальнейшем будем считать замкнутой. Это было впервые точно сформулировано А. М. Ляпуновым в его работе «О некоторых вопросах, связанных с задачей Дирихле» (1898 г.). Работа эта сыграла выдающуюся роль в развитии теории потенциала и исследовании предельных задач для уравнения Лапласа. В этом и дальнейших параграфах мы будем следовать изложению этой работы.

На поверхность S налагаются следующие требования.

1. В каждой точке существует касательная плоскость.

2. Существует такое что если любая точкам, то всякая сфера с центром радиуса d или меньшего радиуса

делит S на две части, из которых одна заключается внутри и другая вне сферы, и прямые, параллельные нормали к S в точке пересекают часть S, находящуюся внутри упомянутой в одной точке.

3. Если — острый угол, образованный нормалями к S в двух ее точках расстояние между этими двумя точками, то существуют два положительных числа и , не зависящих от выбора таких, что имеет место неравенство:

при любых положениях на S.

Замкнутые поверхности, удовлетворяющие этим условиям, называются обычно поверхностями Ляпунова. Дальше мы введем еще некоторые предположения относительно S, а сейчас выведем из сделанных предположений некоторые следствия.

Из (3) непосредственно следует, что касательная плоскость меняется непрерывно при перемещении точки касания вдоль поверхности. Укажем теперь важное для дальнейшего следствие из третьего условия. Пусть о — некоторая точка поверхности S. Поместим в ней начало координат, ось Z направим по внешней нормали к S в а оси X и Y расположим каким-либо образом в касательной плоскости. При этом можно представить в явном виде уравнение куска S, заключенного внутри сферы с центром и радиусом

Через мы будем обозначать всегда координаты переменной точки N поверхности S, а через (х, у, z) - координаты любой точки М пространства. Указанные выше координатные оси назовем местными осями в точке

Из существования касательной плоскости и ее непрерывного изменения следует существование и непрерывность производных первого порядка Мы считаем, что d взято достаточно малым. Например, можно принять условие

так что угол между нормалью в и нормалью в любой точке N куска поверхности S, находящегося внутри сферы не достигает Обозначая через расстояние будем иметь

откуда

и, следовательно, в силу (5),

Вводим полярные координаты:

Мы имеем

откуда, в силу (8),

и

и, следовательно,

Неравенства (9) и (11) дают

откуда

или тем более

ибо при . Наконец, из (6) следует:

Дадим еще оценку для , где — единичный вектор внешней нормали к S в точке N. Мы имеем на основании (8)

и совершенно аналогично

Мы имеем далее

Собираем вместе все оценки, которые мы получили выше:

причем для простоты записи дальнейших формул мы обозначили через с — постоянную, равную наибольшей из постоянных, входящих в соответствующие оценки. Указанные неравенства,

очевидно, сохранятся, если в правых частях заменить на . В точках пересечения S с мы имеем и из (И) следует:

Таким образом, мы видим, что часть поверхности S, вырезанная цилиндром, ось которого совпадает с осью Z (нормаль в точке ), а радиус равен лежит внутри . Будем дальше обозначать эту часть S через Ее проекция на плоскость XY (касательная плоскость в точке ) есть круг:

Для всех точек лежащих на сто, справедливы формулы (15). Введем еще в рассмотрение часть поверхности S, которая вырезается из круговым цилиндром, ось которого совпадает с осью Z, а радиус основания равен некоторому числу причем Дальше мы используем произвольность в выборе На также имеют место оценки (15). Проекция куска на касательную плоскость в точке есть круг:

Мы переходим к исследованию свойств потенциалов простого слоя, а также некоторых других потенциалов — потенциалов двойного слоя, которые так же, как и потенциалы простого слоя, представляются в виде интегралов по поверхности S.