164. Второе основное неравенство и разрешимость первой начально-краевой задачи.

Опишем, как молено доказать разрешимость задачи (113), (127), (128) в классе функций , состоящем из всех функций принадлежащих и имеющих обобщенные производные из . Это множество может быть рассмотрено как полное гильбертово пространство со скалярным произведением

(здесь использованы сокращенные обозначения, введенные в [145; 146]. Норму в ) обозначим через Определим как подпространство пространства полученное замыканием в норме множества всех функций из равных нулю на боковой поверхности цилиндра . Будем предполагать, что область В удовлетворяет требованиям теоремы коэффициенты М удовлетворяют условием и

Докажем, что для параболических операторов М справедливо неравенство, близкое по своему характеру к неравенству (434) из [146]. Для этого рассмотрим интеграл

где

а — произвольная функция из равная нулю на Преобразуем его, используя формулу интегрирования по частям (107) [48], следующим образом:

Из этого равенства и предположений (116), (141) следует неравенство

постоянная в котором определяется лишь произ вольное положительное число. Воспользуемся теперь неравенством (452) [146]. Благодаря ему, а также условию (114), из (143) выведем неравенство

Здесь постоянная зависит от и области В. Возьмем в Тогда, придем к оценке

В силу неравенства

которое легко выводится из формулы Ньютона — Лейбница для с использованием неравенства Буняковского — Шварца (см. (198) [56]), из (145) получим

Из него же выводится желаемая оценка

с помощью леммы из [56] (почти так же, как (124)). Неравенство (148) и есть второе основное неравенство для параболических операторов М при условии (127) Оно выведено для любой функции из равной нулю на Покажем, что для таких функций интегралы , мажорируются . Для этого возьмем какую-либо гладкую, неотрицательную функцию равную 1 для и нулю для ее и примем во внимание равенства

Из них для следует

Такое же неравенство верно и для Доказывается это аналогично, надо только взять в качестве гладкую неотрицательную функцию, равную единице при 0, и нулю при . Благодаря этому норма эквивалентна норме

Из этого факта и неравенства (148), доказанного нами для и, принадлежащих и равных нулю на следует справедливость (148) для любого элемента и из . С его помощью можно доказать однозначную разрешимость задачи (113), (127), (128) для любых используя метод продолжения по параметру (см. [148]) и теоремы из [163]. А именно, надо рассмотреть семейство задач

где , и пару гильбертовых пространств: . Элементами W являются пары функций а скалярное произведение в нем определено равенством

Задачи (151) можно интерпретировать как семейство операторных уравнений

в которых операторы определены равенствами

Операторы действуют из пространства в пространство W. Однозначная разрешимость уравнения (152) при и любых из W доказана в теоремах [163]. Отсюда с помощью неравенств (149) и неравенства (148), справедливого для всех те [0, 1], с постоянной которую можно выбрать общей для всех из [0, 1], нетрудно доказать однозначную разрешимость всех задач (152) при любых из W. Мы не будем проводить это рассуждение, ибо оно вполне аналогично доказательству теоремы 1 из [148], а сформулируем лишь окончательный результат:

Теорема. Пусть для коэффициентов М из (113) выполнены условия (114) — (116) и (141), а для области В условия теоремы 2 [148]. Тогда задача (113), (127), (128) однозначно разрешима в при любых из