90. Асимптотическое выражение собственных значений.

Заменим в уравнении новыми функциями не меньшими прежних во всем промежутке

Функцию оставим прежней. Обозначим характеристические числа измененного уравнения через и докажем неравенство Для этого воспользуемся только что доказанным свойством собственных значений.

При указанном изменении дополнительные условия (109) остаются прежними, а интеграл (108) может только увеличиться при фиксированной функции у. Поскольку совокупность функций у остается прежней при упомянутой замене коэффициентов, и точная нижняя граница значений

интеграла (108) во всяком случае не уменьшится, а следовательно, не уменьшится и наибольшее из чисел Что и требовалось доказать.

Оставим теперь неизменными функции и заменим на причем при . В этом случае нельзя уже говорить о сохранении класса конкурирующих функций у, ибо если у удовлетворяет первому из условий (109), то после подстановки вместо функции будем иметь

Легко, однако, из функции у получить допустимую функцию новой задачи. Для этого достаточно подобрать число 0, удовлетворяющее условию так, чтобы

Нетрудно видеть, что функция удовлетворяет и остальным условиям (109), правда, для других функций . Действительно, так как есть постоянная, то из (109) вытекает, что

Но это и есть опять условия вида (109) для видоизмененного уравнения, причем вместо функций здесь взяты функции

Каждой системе функций будет соответствовать система функций и наоборот. Обратный переход от функции для преобразованного уравнения к таким же функциям для первоначального уравнения будет совершаться при помощи деления на . При замене у на значение интеграла (108) не может увеличиться. Следовательно, не может увеличиться и точная нижняя граница этих значений, а потому не может увеличиться и число являющееся наибольшей из этих точных нижних границ. Мы приходим, таким образом, к следующему общему предложению: если измененные коэффициенты удовлетворяют условию (112), то собственное значение не может уменьшиться, а если измененный коэффициент удовлетворяет условию , то не может увеличиться.

Применим доказанное предложение к асимптотической оценке собственных значений при больших значениях . Пусть

- наименьшие и наибольшие значения функций в промежутке . Заменим в заданном уравнении на на Q и на . Полученное новое уравнение с постоянными коэффициентами:

будет иметь собственные значения во всяком случае не меньшие, чем собственные значения первоначального уравнения. Но мы легко можем найти Для этого заметим прежде всего, что уравнение (113) может иметь решение, удовлетворяющее предельным условиям (95) только в том случае, если .

Принимая это во внимание, мы напишем общий интеграл уравнений (113) в виде

Для простоты в дальнейших вычислениях примем за основной промежуток промежуток . Из предельного условия следует , и второе предельное условие дает нам уравнение для определения а именно:

откуда

Совершенно так же, заменяя соответственно на , докажем, что

и получаем таким образом следующую оценку для собственных значений:

Отсюда вытекает, что при больших есть величина порядка и ряд

есть ряд сходящийся. Пользуясь максимально-минимальным свойством , можно получить более точную оценку, если предварительно преобразовать исходное уравнение. Предположим,

что имеют непрерывные производные до второго порядка и преобразуем уравнение (1), вводя вместо новую неза» висимую переменную t:

и вместо у новую искомую функцию и:

Промежуток изменения переменной преобразуется в промежуток для переменной t, где

Уравнение для будет иметь вид

где некоторая непрерывная функция, которая легко опре деляется по заданным коэффициентам уравнения (1). Из следует и наоборот, а потому ственные функции исходного уравнения будут определяться собственными функциями преобразованного уравнения по формуле (115), и наоборот, а собственные значения останутся прежними. При определении собственных значений уравнения (116) мы должны поставить минимальную задачу для интеграла

Пусть а есть наибольшее значение для в промежутка , так что

Если вместо интеграла (117) мы поставим минимальную задачу для интегралов

и

и обозначим через соответствующие собственные значения, то получим

Но числа вычисляются элементарно из решений уравнений

при предельных условиях , и мы имеем

В силу (119) получим

или

где через мы, как всегда, обозначаем величину, которая остается ограниченной по абсолютной величине при всех значениях п. Возвращаясь к старым переменным, получим

и, следовательно,

Точнб такие же асимптотические выражения собственных значений мы получим и для других предельных условий. Это непосредственно получается, если рассмотреть уравнение для различных предельных условий.