66. Уравнения гидродинамики.

Применим теорию характеристик к случаю уравнений гидродинамики. Обозначим через составляющие вектора скорости, через — давление, через — плотность и через - составляющие внешней силы, рассчитанной на единицу массы. Независимым» переменными будут время t и пространственные координаты будем иметь три уравнения Эйлера:

и уравнение неразрывности [114, 115]:

Будем считать жидкость сжимаемой и положим, что уравнение состояния определяется зависимостью давления от плотности , где за данная функция. Окончательно будем иметь четыре уравнения первого порядка для функций от независимых переменных

Величины определяемые формулами (5), будут а данном случае иметь вид

где, как и раньше, есть левая часть уравнения характеристической поверхности

Обозначим, как и выше, через сумму:

Уравнение первого порядка (6), которому должна удовлетворять характеристическая поверхность (22), в данном случае будет иметь вид

Раскрывая этот определитель, получим

Скорость Р перемещения поверхности (22) в направлении, нормальном к поверхности, определяется, как известно, формулой (75) из [43]. В каждый данный момент поверхность (22) будет проходить через некоторые жидкие частицы. Пусть составляющая скорости жидкой частицы, лежащей на упомянутой поверхности, на нормаль к поверхности в соответствующей точке.

Принимая во внимание, что суть направляющие косинусы упомянутой нормали (в ту сторону, где ), мы имеем

Разность Р — выражающая скорость движения поверхности по отношению жидким частицам, называется обычно скоростью распространения волны

Мы имеем для этой скорости следующее выражение:

или

Дифференциальное уравнение характеристических поверхностей (23) оказывается равносильным двум уравнениям:

Первому уравнению отвечает случай стационарного разрыва, и в дальнейшем мы будем рассматривать лишь второе из написанных уравнений. Скорость V, определяемая формулой (25), есть скорость звука:

Установим теперь характер разрыва, пользуясь кинематическими и динамическими условиями совместности Обозначим через коэффициенты разрывности, входящие в формулу для функций и через — соответствующий коэффициент для функции . Уравнения (18) в данном случае напишутся в виде

или, принимая во внимание (24) и (25), в виде

т. е.

где — направляющие косинусы нормали к поверхности разрыва. Будем рассматривать как составляющие некоторого вектора h (вектор-разрыва производных скорости). Предыдущие формулы могут быть записаны в следующей векторной форме:

где — единичный вектор нормали к поверхности разрыва. Мы видим, таким образом, что вектор разрыва производных скорости направлен по нормали к поверхности разрыва (продольная волна).

Составляющие вектора ускорения выражаются формулами

и имеют разрыв при переходе через поверхность. Положим, что с одной стороны поверхности мы имеем покой В силу непрерывности самой скорости, ее предельные значения на поверхности с обеих сторон равны нулю, а производные

от скорости будут на поверхности иметь значения, равные скачку, поскольку перед поверхностью там, где мы имеем покой, эти производные равны нулю. То же самое можно сказать и о составляющих вектора ускорения. Скачок этих составляющих, в силу (27) и (24), определится равенством

или в векторной форме:

При указанном выше условии эта формула будет давать вектор ускорения на поверхности разрыва.

Рассмотрим теперь так называемый стационарный случай, а именно тот случай, когда функции не зависят от t Считая также не зависящим от будем иметь Положим, что в некоторой области скорость движения жидкости меньше скорости звука (26). При этом и подавно и равенство невозможно. Таким образом, мы видим, что при дозвуковых скоростях мы не можем иметь в стационарном случае распространяющихся прерывностей.